Konvergenz von Folgen

21.10.2009, 12:03

eisley

Konvergenz von Folgen

hallo zusammen !!

Aufgabenstellung:

seien $\begin{eqnarray*} a_j\geq 0 \end{eqnarray*}$ für j = 1, ... , p.

Zeige, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a^{n}_1 + ... + a^{n}_p ) = max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} \end{eqnarray*}$

könnte man hier mit "monoton steigenden" oder "monoton fallenden" Folgen arbeiten?
ich finde nicht so richtig einen brauchbaren Ansatz.. :/

zudem:
die Summe hat ja einen Exponenten von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .. was bei n gegen unendlich in Richtung Null geht.. und eine Zahl hoch Null ist immer gleich Eins..

nunja, Eins wird wohl kaum das $\begin{eqnarray*} max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} \end{eqnarray*}$ sein...

vielen Dank für die Unterstützung!!

liebe Grüsse eisley

21.10.2009, 12:16

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Folgen
Kann es sein, daß da was fehlt und sowas gemeint ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }~\sqrt[n]{a^{n}_1 + ... + a^{n}_p} = max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} \end{eqnarray*}$

?

21.10.2009, 12:19

Schmonk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Folgen

Zitat:

Original von eisley
Aufgabenstellung:

seien $\begin{eqnarray*} a_j\geq 0 \end{eqnarray*}$ für j = 1, ... , p.

Zeige, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a^{n}_1 + ... + a^{n}_p ) = max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von eisley
die Summe hat ja einen Exponenten von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .. was bei n gegen unendlich in Richtung Null geht.

Schreib doch bitte nochmal bitte genau auf, wie deine Aufgabe lautet. Ohne weitere Informatoinen würde ich sagen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a^{n}_1 + ... + a^{n}_p ) = \infty \end{eqnarray*}$ , sofern ein $\begin{eqnarray*} a_j>1 \end{eqnarray*}$

Ich vermute jedoch, dass du zeigen willst, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum_{j=1}^pa_j^n}= \max_{j=1,\ldots,p} a_j \end{eqnarray*}$

Ein Tipp hierbei ist die Normäquivalenz.

21.10.2009, 12:32

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

die Aufgabenstellung ist genau so von meinem Übungsblatt übernommen. :/
wir haben in der Gruppe auch schon einen Ansatz mit der Wurzel besprochen.. aber scheint nicht zur Lösung zu führen. stecken alle irgendwie fest.. unglücklich

21.10.2009, 12:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eisley
die Aufgabenstellung ist genau so von meinem Übungsblatt übernommen. :/

Dann stimmt das Übungsblatt eben nicht. geschockt

21.10.2009, 13:07

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ich werde der sache nachgehen.. haha

21.10.2009, 13:14

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht solltest du einfach noch einmal deinen ersten Post genau unter die Lupe nehmen.

Wie sonst kommst du auf die Aussage:

Zitat:

zudem: die Summe hat ja einen Exponenten von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .. was bei n gegen unendlich in Richtung Null geht.. und eine Zahl hoch Null ist immer gleich Eins..

Hier redest du doch von einen Exponenten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , was nichts anderes als die n-te Wurzel ist.

Meinst du in deinem ersten Post anstelle

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a^{n}_1 + ... + a^{n}_p ) = max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} \end{eqnarray*}$

vielleicht

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a^{n}_1 + ... + a^{n}_p )^{\frac{1}{n}}= max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} \end{eqnarray*}$

?

Gruß

21.10.2009, 13:27

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

ah schau hier.. das ist verloren gegangen!

also hier noch einmal die Aufgabenstellung:

seien $\begin{eqnarray*} a_j \geq 0 \end{eqnarray*}$ für j = 1, ... , p.

Zeige, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(a^{n}_1 + ... + a^{n}_p \right)^{\frac{1}{n} } = max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} \end{eqnarray*}$

sorry an klarsoweit!

21.10.2009, 13:51

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Na siehste. Aber erstmal leugnen. unglücklich

O. B. d. A. kannst du annehmen, daß $\begin{eqnarray*} max\left\{ a_1, ... , a_p\right\} = a_1 \end{eqnarray*}$ ist.

Mache nun für den Grenzwert geeignete Abschätzungen.

21.10.2009, 13:59

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

aber dann wäre das $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und somit alle anderen Glieder dieser Summe kleiner eins?
da der angenommene max-Wert $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ja - laut Grenzwertbestimmung - 1 ist..

oje - kann es sein, dass ich gerade ein riesiges Brett vor dem Kopf habe?

zuerst Fehler machen, dann leugnen und jetzt noch rumkratzen!
nicht mein Tag heute. haha

21.10.2009, 14:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von eisley
aber dann wäre das $\begin{eqnarray*} a_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und somit alle anderen Glieder dieser Summe kleiner eins?
da der angenommene max-Wert $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ja - laut Grenzwertbestimmung - 1 ist..

Nöö, wer sagt das? verwirrt

21.10.2009, 14:35

eisley

Auf diesen Beitrag antworten »

also gesagt hats noch keiner !! haha gedacht hab ichs mir..häng noch immer an dem "eine zahl hoch null gibt eins" Hammer

naja - ich werd später noch einmal drüber nachdenken, momentan ist da nichts mit licht aufgehen und so.
auf jeden fall vielen dank für die hilfe!!

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Folgen

Verwandte Themen