Mengenlehre: Supremum und Infimum

21.10.2009, 13:54

sviatopolk

Mengenlehre: Supremum und Infimum

Maximum und Minimum heisst es bei kleinergleich und groessergleich einen Intervall beschränkenden Punkten. Infimum und Supremum nennen sich punkte die groeßer und kleiner als der zu beschraenkende Intervall sind.

Mein Frage: wenn das Intervall Sup oder Inf-punkt nicht unmittelbar tangiert, verschieben sich die punkte?
z.B. ist x Element von natürlichen oder rationalen zahlen und dabei ist $\begin{eqnarray*} [ - sqrt(2), PI[ \end{eqnarray*}$ bzw. { $\begin{eqnarray*} - sqrt(2) \le x < PI \end{eqnarray*}$ } das Intervall bei dem die Punkte zu finden sind.

ist -1 das Minimum und 1 das Maximum? Ist 1 das Supremum? Ist $\begin{eqnarray*} PI \end{eqnarray*}$ das Supremum?Ist $\begin{eqnarray*} -sqrt(2) \end{eqnarray*}$ das Infimum?

Ich kann nur raten!
hilft bitte.

21.10.2009, 15:27

Mazze

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Ich werde aus deiner Formulierung nicht ganz schlau. Aber aus der Aufgabe, das Interval ist also

$\begin{eqnarray*} [-\sqrt{2},\pi) \end{eqnarray*}$

Jetzt sagst Du -1 soll das Minimum sein. Offensichtlich ist aber $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} < -1 \end{eqnarray*}$ , wie kann dann -1 das Minimum sein?

Du sagst 1 ist das Maximum, nun ist aber $\begin{eqnarray*} 2 > 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \in [-\sqrt{2},\pi) \end{eqnarray*}$ , wie kann dann 1 Maximum sein?

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ das Supremum?

Ja !

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} -\sqrt(2) \end{eqnarray*}$ das Infimum

Ja!

Du kannst Dir folgendes merken. Gibt es ein Minimum und Infimum so ist Infimum = Minimum. Gibt es Supremum und Maximum so ist Maximum = Supremum.

21.10.2009, 16:14

sviatopolk

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<p style="margin-top: 0">[/align]

21.10.2009, 16:15

sviatopolk

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Danke dir,

Um sicherzustellen: das Minimum/Infimum kann ausserhalb des Definitionsbereiches liegen. Pi ist Supremum obwohl es keine natürliche Zahl ist. Selbiges gilt für - $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{2} \end{eqnarray*}$ als Minimum/Infimum.

Richtig?

21.10.2009, 16:19

Mazze

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So nochmal von vorne. Du betrachtest

$\begin{eqnarray*} (-\sqrt{2},\pi) \subset \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

?

Das würde einiges ändern. Minimum/Maximum sind immer Elemente der Menge. Supremum, Infimum können ausserhalb liegen.

21.10.2009, 18:51

sviatopolk

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Genau das wollte ich wissen.

Genommen der Extremfall dass zw. dem Infimum und Supremum (Inf>x>Sup) leere Menge ist wegen vordefinierter Eigenschaften von x?Es gibt z.B. zw. 0,1 und 0,2 keine vollen Zahlen.

Da spricht man trotzdem von dem Infimum und Supremum des Intervalls. Sehe ich das richtig?

22.10.2009, 10:25

Mazze

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Zitat:

(Inf>x>Sup)

Das ergibt keinen Sinn, das Infimum ist immer kleinergleich dem Supremum. Was Die Menge

$\begin{eqnarray*} M = \{x \in \mathbb{Q} | - \sqrt{2} < x < \pi\} \end{eqnarray*}$

angeht. $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist Supremum, $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist Infimum. Minimum und Maximum gibt es nicht. Das liegt daran das in jeder Epsilonumgebung einer irrationalen Zahlen eine Rationale Zahl zu finden ist. Insbesondere auch in der Schnittmenge von M und dieser Umgebung.

Zitat:

Es gibt z.B. zw. 0,1 und 0,2 keine vollen Zahlen. Da spricht man trotzdem von dem Infimum und Supremum des Intervalls. Sehe ich das richtig?

Das verstehe ich nicht.

21.11.2009, 12:16

EvilTwin

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Also ich bin grad an einem ähnlcihen Problem.

Hab ich das nun richtig verstanden? Wenn ich $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ als untere, offene Intervallgrenze habe ( sagen wir in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) dann ist sowohl mein Infimum, als auch mein Minimum = $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ??
Wenn dies jetzt aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist dann existiert kein Minimum, weil sich $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ darstellen lässt? Und das Infimum bleibt das selbe, ist aber kleiner als der kleinste Wert in diesem Intervall??

Mir fehlt leider noch ein wenig der Zusammenhang zwischen offener Grenze "(" und geschlossener Grenze "[" im Bezug auf Infimum usw. Wenn ich eine geschlossene Grenze habe und mein Intervall [1,x) in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist mein Minimum ja im Intervall, aber muss ja kleiner als 1 sein. Doch welche Zahl folgt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf die 1??? Diese kann ich doch beliebig klein wählen?? Und wäre hier das Infimum dann 1???

Danke soweit
Gruß EvilTwin

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