Kritische Punkte bestimmen

21.10.2009, 14:43	pi_mal_Daumen	Auf diesen Beitrag antworten »
Kritische Punkte bestimmen Hallo! Ich sitze gerade an einer Aufgabe, bei der ich nie so recht weiß, die ich hier am besten vorgehe. Ich will die lokalen Extrema einer Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y) = (4x^2+y^2)e^{(-x^2-4y^2)} \end{eqnarray}$ Ich habe die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung berechnet, und nun herraus, dass $\begin{eqnarray} grad(f) = \begin{pmatrix} (8x -8x^3 - 2xy^2) e^{(-x^2-4y^2)} \\ (2y-32x^2y-8y^3)e^{(-x^2-4y^2)} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie kann ich denn nun am besten vorgehen, um die kritischen Punkte zu bestimmen? Der Gradient muss ja 0 sein. D.h. ich löse ein Gleichungssystem mit den beiden Zeilen des Gradienten, die 0 gesetzt sind. $\begin{eqnarray} (8x -8x^3 - 2xy^2) e^{(-x^2-4y^2)} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2y-32x^2y-8y^3)e^{(-x^2-4y^2)} = 0 \end{eqnarray}$ Die e-Funktion kann ja niemals kleiner oder gleich 0 werden, weshalb der andere Faktor, in den Klammern Null sein muss. Aber irgendwie weiß ich nicht genau, vor allem wegen den 2 Variablen und den Potenzen, wie ich sowas am besten Löse. Kann mir da jemand wohl einen Tipp geben?
21.10.2009, 14:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere aus der ersten Gleichung 2x aus und aus der zweiten Gleichung 2y. mY+
21.10.2009, 19:32	pi_mal_Daumen	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie stell ich mich soo blöd an bei den Basissachen... Nach dem Ausklammern hätte ich also $\begin{eqnarray} 2x(4-4x^2-y^2) = 0 \land 2y(1-16x^2-4y^2) = 0 \end{eqnarray}$ Betrachte ich nun die erste Gleichung, gilt ja $\begin{eqnarray} 2x = 0 \lor (4-4x^2-y^2) = 0 \Rightarrow x = 0 \lor (4-x^2-y^2) = 0 \end{eqnarray}$ Löse ich das dann mal nach y auf, bekomme ich $\begin{eqnarray} y^2 = -4x^2 + 4 \end{eqnarray}$ Nur jetzt habe ich doch das Problem, dass ich die Wurzel aus was potenziell Negativem ziehen müsste, es sei denn, x wäre $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ Irgendwie verstehe ich noch was falsch Aber Danke schonmal für deine Mühe!
21.10.2009, 20:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher ist doch schon eine Lösung (0; 0). Es gibt aber noch weitere, die du dir veranschaulichen kannst, wenn du die zu den Gleichungen gehörenden Graphen betrachtest. Es sind Geraden und Ellipsen. [attach]11567[/attach] Alle Schnittpunkte der roten und blauen Graphen sind Lösungen. mY+
22.10.2009, 21:05	pi_mal_Daumen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mal einen 3D-Plot erstellt (siehe Anhang) Bei (0,0) ist also so eine Kuhle. Auch rechnerisch ergibt sich klar nen kritischer Punkt. Dann gibt es noch diese 2 Berge, also sicherlich zwei Maxima bei (-1, 0) und (1, 0) Aber leider komme ich immernoch nicht rechnerisch auf diese Werte. Irgendwie machts echt nicht klick bei mir Ich verzweifel echt daran, zwei Gleichungen zu lösen :/ Ist mir noch zu helfen?
23.10.2009, 01:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das System von 2 Gleichungen vom Grad 3 liefert theoretisch 9 Lösungspaare (Lösungspunkte). Da die beiden Ellipsen einander nicht schneiden, fallen einmal 4 Paare weg, weil sie nicht reell sind. Bleiben 5 Lösungspaare, die auch in der Grafik zu erkennen sind: (0; 0), (1; 0), (-1; 0), (0; 1/2), (0; -1/2) x = 0 und y = 0 richtig in die Gleichungen einsetzen bzw. die Skizze sollten dir dabei nun helfen, diese Lösungen auch rechnerisch zu ermitteln. mY+
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