Fakultät via Induktion beweisen

21.10.2009, 16:42

Physinetz

Fakultät via Induktion beweisen

Hallo würde gerne mit der Induktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} 1*2*3*...*(n-1)*n = n! \end{eqnarray*}$

Gehen wir gleich über zum 2.Schritt:

Sei die Aussage war für n=k

So gilt: $\begin{eqnarray*} 1*2*3*...*(k-1)*k = k! \end{eqnarray*}$

Wenn sie für n=k gilt muss sie auch für n=k+1 gelten folglich:

$\begin{eqnarray*} 1*2*3*...*(k-1)*k * (k+1-1)*(k+1)= k! * (k+1-1) * (k+1) \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht weiter, weil es müsste ja rauskommen auf der "Linken" Seite

$\begin{eqnarray*} (k+1) ! \end{eqnarray*}$

Ich komme aber auf $\begin{eqnarray*} k! * (k+1-1) * (k+1) \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann mir jemand bei meinem Denkfehler helfen?

Vielen Dank

21.10.2009, 16:48

Q-fLaDeN

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RE: Fakultät via Induktion beweisen

Zitat:

Original von Physinetz
Wenn sie für n=k gilt muss sie auch für n=k+1 gelten folglich:

$\begin{eqnarray*} 1*2*3*...*(k-1)*k * (k+1-1)*(k+1)= k! * (k+1-1) * (k+1) \end{eqnarray*}$

Hier steckt der Fehler.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-3) \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n = n! \end{eqnarray*}$

Wenn nun n = k+1 ist dann ist

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot ((k+1)-3) \cdot ((k+1)-2) \cdot ((k+1)-1) \cdot (k+1) <br /> <br /> = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k-2) \cdot (k-1) \cdot k \cdot (k+1) \stackrel{IA}{=} k! \cdot (k+1) = (k+1)! \end{eqnarray*}$

Jedoch vermute ich, dass man eher das hier beweisen muss:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n k = n! \end{eqnarray*}$

Denn die Pünktchenschreibweise ist eigentlich nicht erlaubt, es sei denn, man hat das vorher vereinbart.

21.10.2009, 18:53

Physinetz

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RE: Fakultät via Induktion beweisen

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

Hier steckt der Fehler.

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (n-3) \cdot (n-2) \cdot (n-1) \cdot n = n! \end{eqnarray*}$

Wenn nun n = k+1 ist dann ist

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot ((k+1)-3) \cdot ((k+1)-2) \cdot ((k+1)-1) \cdot (k+1) <br /> <br /> = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k-2) \cdot (k-1) \cdot k \cdot (k+1) \stackrel{IA}{=} k! \cdot (k+1) = (k+1)! \end{eqnarray*}$

Normalerweise nimmt man doch das letzte "Glied" und hängt daran noch einen Term mit (k+1) dran wenn du verstehst was ich meine....
Deshalb check ich nicht wieso du von "hinten" kommst also mit n-3 * n-2 ....

danke...

ps: bist du hochtalentiert mit 18 ?

21.10.2009, 19:09

Q-fLaDeN

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RE: Fakultät via Induktion beweisen

Zitat:

Original von Physinetz
Normalerweise nimmt man doch das letzte "Glied" und hängt daran noch einen Term mit (k+1) dran wenn du verstehst was ich meine....
Deshalb check ich nicht wieso du von "hinten" kommst also mit n-3 * n-2 ....

Sorry aber ich weiss jetzt nicht ganz, was du mit deiner Formulierung meinst.
Kannst du das mal etwas besser beschreiben?

Und nein ich bin nicht hochtalentiert... hochtalentiert ist etwas ganz anderes geschockt

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