Primzahl Beweisaufgaben

21.10.2009, 19:02

Fröbel

Primzahl Beweisaufgaben

Hallo,

ich sitze an den beiden folgenden Aufgaben:

a) Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b^a-1 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl. Zeigen Sie, dass b=2 gilt, falls a>1 ist.

b) Sei p>3 eine Primzahl. Zeigen Sie, dass dann gilt:
p mod 6=1 oder p mod 6 = 5.

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Zu a):

Hier habe ich folgendes bisher überlegt: $\begin{eqnarray*} (b^a-1) \end{eqnarray*}$ könnte man ja umschreiben zu:
b-1 = (b-1)*(1)
b²-1 = (b-1)*(b+1)
b³-1 = (b-1)*(b²+b+1)
b^4-1 = (b-1)*(b³+b²+b+1)
.
.
.
=> $\begin{eqnarray*} (b^a-1) | (b-1) \end{eqnarray*}$
Aber kann ich daraus nun was nützliches folgern verwirrt

Müsste nun b=2 gelten, aber warum?

Zu b):

Hier habe ich mir gedacht, dass man jede Primzahl p>3 schreiben kann als $\begin{eqnarray*} 6k \pm 1 \end{eqnarray*}$
=> Wenn p=6k+1 => p mod 6 =1 und p=6k-1 => p mod 6 =5

Ist das so richtig? Auch mathematisch genug geschrieben?

21.10.2009, 19:10

tmo

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RE: Primzahl Beweisaufgaben

Zitat:

Original von Fröbel
Zu a):

Hier habe ich folgendes bisher überlegt: $\begin{eqnarray*} (b^a-1) \end{eqnarray*}$ könnte man ja umschreiben zu:
b-1 = (b-1)*(1)
b²-1 = (b-1)*(b+1)
b³-1 = (b-1)*(b²+b+1)
b^4-1 = (b-1)*(b³+b²+b+1)
.
.
.
=> $\begin{eqnarray*} (b^a-1) | (b-1) \end{eqnarray*}$
Aber kann ich daraus nun was nützliches folgern verwirrt

Müsste nun b=2 gelten, aber warum?

Genau andersrum:
Aus deinen Überlegungen folgt:
$\begin{eqnarray*} b-1 | b^a-1 \end{eqnarray*}$ (Formaler Beweis mit geometrischer Reihe).

Daraus folgt für $\begin{eqnarray*} b-1 \geq 2 \Longleftrightarrow b \geq 3 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} b^a-1 \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist. Also ist $\begin{eqnarray*} b \leq 2 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ macht kein Sinn (warum?). Also $\begin{eqnarray*} b =2 \end{eqnarray*}$ .

Zur b): Ist ja alles schön und gut und richtig, aber das ist kein Beweis. Du nutzt nämlich eine Aussage, die du eigentlich beweisen sollst.

Der Beweis ist ganz einfach. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} 6n,6n+2,6n+3,6n+4 \end{eqnarray*}$ nicht in Frage kommen.

21.10.2009, 19:42

Fröbel

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RE: Primzahl Beweisaufgaben

Zitat:

Original von tmo

Genau andersrum:
Aus deinen Überlegungen folgt:
$\begin{eqnarray*} b-1 | b^a-1 \end{eqnarray*}$ (Formaler Beweis mit geometrischer Reihe).

Daraus folgt für $\begin{eqnarray*} b-1 \geq 2 \Longleftrightarrow b \geq 3 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} b^a-1 \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist. Also ist $\begin{eqnarray*} b \leq 2 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ macht kein Sinn (warum?). Also $\begin{eqnarray*} b =2 \end{eqnarray*}$ .

Ok, habe ich verstanden. Ist b also >2, dann folgt keine Primzahl und b=1 macht keinen Sinn, weil dann 0 das Ergebnis wäre und Null ist keine Primzahl.
Kann ich das a>1 einfach voraussetzen oder muss ich nochwas zeigen?
Bei Beweis mit der geom. Reihe weiss ich net so recht weiter...
Es muss doch gelten $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~(b^a-1) = (b-1) \cdot \sum_{k=0}^n~b^(a-1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zur b): Ist ja alles schön und gut und richtig, aber das ist kein Beweis. Du nutzt nämlich eine Aussage, die du eigentlich beweisen sollst.

Der Beweis ist ganz einfach. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} 6n,6n+2,6n+3,6n+4 \end{eqnarray*}$ nicht in Frage kommen.

Ehrlich gesagt, weiss ich nicht wie ich mit deinem Tipp umgehen soll traurig

22.10.2009, 17:12

Fröbel

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Niemand eine Idee? traurig

22.10.2009, 17:37

lgrizu

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ich glaube, wir besuchen die gleiche vorlesung;
ich hab die aufgabe folgendermassen gelöst:
zuerst habe ich gezeigt, dass b gerade ist, b=1 mach keinen sinn, und bei b>1, b ungerade ist ja auch b^a ungerade, denn produkte ungerader zahlen sind wieder ungerade, also ist b^a-1 gerade.
dann habe ich mit der zerlegung
$\begin{eqnarray*} b^{a}-1=\left(b-1\right) * \left(b^{a-1} +b^{a-2}+....+b+1\right) \end{eqnarray*}$
gezeigt, dass b =2 sein muss für a>1, damit b Primzahl ist, einfach die beiden therme mal anschauen und die definition von primzahlen im kopf haben.

zu der anderen aufgabe musst du dir nur überlegen, welche möglichen reste bei der division mit 6 vorkommen können.
dann brauchst du nur noch teilbarkeitsregeln und zeigst, dass wenn die reste nicht 1 oder 5 sind, es teiler k von p gibt mit 1<k<4 , da p ja primzahl >3 darf p keine solche teiler haben.

22.10.2009, 17:39

lgrizu

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ich habe gerade mal drüber geschaut, ist total überflüssig erst zu zeigen, dass b gerade ist, aber war halt meine erste idee....

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