Vereinigung und Schnitt von Mengen

21.10.2009, 20:45

DOZ ZOLE

Vereinigung und Schnitt von Mengen

Hallo,
ich soll die folgende Mengenvereinigung bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \mathbb N} \left]\frac{1}{n+1},1\right]=\left\{x|\frac{1}{n+1}<x\leq 1,n \in \mathbb N \right\}=]0,1] \end{eqnarray*}$

ist das richitg?

Außerdem soll ich noch die folgende Durchschnittsmenge bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n \in \mathbb N}\left]-n,\frac{1}{n+1} \right]=\left\{x\mid -n<x\leq \frac{1}{n+1}\right\} \end{eqnarray*}$

leider weiß ich hier nicht weiter. ich weiß zwar das die "linke intervallgrenze" auf dem zahlenstrahl immer weiter nach links wandert, sie also immer kleiner wird und das die "rechte intevallgrenze" sich immer weiter der 0 annäherd für immer größere n. allerdings habe ich keine idee welche elemente all diese mengen gemeinsam haben. kann mir jemand mit dem richtigen denkanstoß helfen?

MfG
DOZ ZOLE

22.10.2009, 08:48

Huggy

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RE: Vereinigung und Schnitt von Mengen
Gibt es negative Zahlen, die in allen Intervallen enthalten sind?
Gibt es positive Zahlen, die in allen Intervallen enthalten sind?
Was ist mit der Null?

22.10.2009, 08:51

klarsoweit

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RE: Vereinigung und Schnitt von Mengen

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \mathbb N} \left]\frac{1}{n+1},1\right]=\left\{x|\frac{1}{n+1}<x\leq 1,n \in \mathbb N \right\}=]0,1] \end{eqnarray*}$

ist das richitg?

Ja, wenn man es formal richtig schreibt:
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \mathbb N} \left]\frac{1}{n+1},1\right] = \bigcup_{n \in \mathbb N}~\left\{x|\frac{1}{n+1}<x\leq 1,n \in \mathbb N \right\}=]0,1] \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
Außerdem soll ich noch die folgende Durchschnittsmenge bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n \in \mathbb N}\left]-n,\frac{1}{n+1} \right]=\left\{x\mid -n<x\leq \frac{1}{n+1}\right\} \end{eqnarray*}$

Auch hier ist es formal unsauber geschrieben. Das sollte es sein:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n \in \mathbb N}\left]-n,\frac{1}{n+1} \right] = \bigcap_{n \in \mathbb N}~\left\{x\mid -n<x\leq \frac{1}{n+1}\right\} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 12:11

DOZ ZOLE

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ok ich habe mir jetzt zu folgendem nochmal ein paar gedanken gemacht:
$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n \in \mathbb N}\left]-n,\frac{1}{n+1} \right]=\left\{x\mid -n<x\leq \frac{1}{n+1}\right\} \end{eqnarray*}$

jetzt ich mein gedankenproblem das ich zwar weiß das sich dieses intervall für große n zwar unendlich klein wird und von daher die leere menge ist. allerdings aller könnte man doch auch argumentieren das es trotz diesem unendlich kleinen intervall es trotzdem noch unendlich viele elemente enthalten müsste oder?

23.10.2009, 12:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
ok ich habe mir jetzt zu folgendem nochmal ein paar gedanken gemacht:
$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n \in \mathbb N}\left]-n,\frac{1}{n+1} \right]=\left\{x\mid -n<x\leq \frac{1}{n+1}\right\} \end{eqnarray*}$

Wie ich in meinem vorigen Beitrag schon sagte, ist das formal unsauber, um nicht zu sagen falsch.

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
jetzt ich mein gedankenproblem das ich zwar weiß das sich dieses intervall für große n zwar unendlich klein wird und von daher die leere menge ist.

Welches Intervall? Die Schnittmenge? Die ist nicht leer.

23.10.2009, 13:28

Gasti

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Zitat:

Original von klarsoweit

Welches Intervall? Die Schnittmenge? Die ist nicht leer.

Das hängt ja von der Definition von N ab:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} := \{0, 1, 2, \ldots \} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} := \{1, 2, 3 \ldots \} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 15:21

DOZ ZOLE

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in der definition meines profs ist:

$\begin{eqnarray*} \mathbb N :=\left\{ 0,1,2,3,...\right\} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 20:47

Gasti

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Dann ist der Durchschnitt leer.

Siehe der Ansatz von Huggy:

Das Intervall bei n = 0 hat nur positive Elemente, also liegen auch im Durchschnitt höchstens positive Elemente. Tatsächlich gibt es aber auch keine positiven Elemente, denn für jede positive reelle Zahl x gibt es ein n, sodass x nicht mehr im zu n gehörenden Intervall liegt.

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