Ungleichungen und Fallunterscheidung

21.10.2009, 20:59	Bodo85	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen und Fallunterscheidung Hallo zusammen, gleich vorneweg, mit einer einfachen Ungleichung komme ich klar, ich habe Probleme die Fallunterschiede zu verstehen. Also folgendes Beispiel verstehe ich nicht so ganz! $\begin{eqnarray} 3x-4/4-x > 1 \end{eqnarray}$ Nun kommt der Knackpunkt, ich habe folgende Lösung: 1. Fallunterschied $\begin{eqnarray} <br /> 4-x > 0 <=> x < 4<br /> 3x-4 > 4-x /+x +4<br /> 4x > 8 /:4<br /> x > 2<br /> <br /> L1 = (2;4)<br /> \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht wie man auf die Lösung 2; 4 kommt. $\begin{eqnarray} 4-x > 0 <=> x < 4 \end{eqnarray}$ Die Aussage verstehe ich überhaupt nicht. Nach meinem Verständnis bedeutet das: 4 minus x ist größer 0 , dass ist genauso wie x kleiner 4. Den 2 Fallunterschied würde ich nach einer kleinen Erläuterung gerne selber machen.
21.10.2009, 21:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen und Fallunterscheidung Das ist ganz einfach, 4/4 ergibt 1 und 3x-x ergibt 2x. Ein paar weiteren Äquivalenzumformungen und dann führt simples Umformen zum Ziel. $\begin{eqnarray} \frac{3x-4}{4-x} > 1 \end{eqnarray}$ War vlt das gemeint? Und wenn du als Voraussetzung für die Umformung x < 4 voraussetzt und x > 2 rausbekommst, ist wohl klar in welchem Bereich die liegen muss. Tut mir leid für die ganze editerei, hatte nen Denkfehler drin.
21.10.2009, 21:14	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo entstehen denn bei Brüchen in Ungleichungen Schwierigkeiten? Richtig, in der multiplikation mit dem Hauptnenner. Ich vermute du meinst: $\begin{eqnarray} \frac{3x-4}{4-x} > 1 \end{eqnarray}$ denn eigentlich steht, so wie du es geschrieben hast, da $\begin{eqnarray} 3x-\frac 4 4 -x > 1 \Rightarrow x > 1 \end{eqnarray}$ Also bitte immer wenigstens Klammern setzen! Gut. Um die Ungleichung weiter aufzulösen, muss man zuerst mit dem Hauptnenner multiplizieren. Dabei muss man nun unterscheiden, für welche Fälle der Nenner größer 0 bzw. kleiner 0 ist. Denn wenn der Nenner kleiner als 0 ist, muss man das "größer als" Zeichen vertauschen zu einem "kleiner als" Zeichen. Wenn nun also 4-x > 0 ist, dann gibts mit dem größer als Zeichen keine Probleme und du darfst normal multiplizieren. Wenn man bei der Ungleichung 4-x > 0 auf beiden Seiten x addiert, so steht dort, $\begin{eqnarray} x<4 \end{eqnarray}$ Dann löst man das ganze auf und kommt zum Ergebnis $\begin{eqnarray} x > 2 \end{eqnarray}$ . Da nun aber gleichzeitig x<4 gelten muss bildet man die Schnittmenge dieser x-Werte. x > 2 würde bedeuten, dass x z. B. $\begin{eqnarray} 8 \end{eqnarray}$ ist, oder $\begin{eqnarray} 2.3 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{722235}{2}} \end{eqnarray}$ Da x aber gleichzeitig kleiner 4 sein muss, kommen Lösungen wie z. B. 8 nicht in Frage. Ich nenne die Mengen mal M1 und M2. $\begin{eqnarray} x < 4 = \{x\|x<4\} = M_1<br /> x > 2 = \{x\|x>2\} = M_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow M_1 \cap M_2 = \{x\|2<x<4\} \Rightarrow x \in ]2;4[ \end{eqnarray}$ So ich hoffe das ist verständlich. Ich geh jetzt off, tschö.
21.10.2009, 22:09	Bodo85	Auf diesen Beitrag antworten »
ach mensch, natürlich. Jetzt ist es glasklar, htte irgendwie ein BRett vorm Kopf. Danke!

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