Vollständige Induktion

21.10.2009, 21:50

Dreistein

Vollständige Induktion

Hier soll ich eine vollständige Induktion durchführen leider komme ich nicht weiter:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{~-1^{k}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}}{a+k} = \frac{n!}{a\cdot\left(a+1\right) ...\left(a+n\right) } \end{eqnarray*}$

IA
n=0
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^0 \frac{~-1^{0}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}}{a+0} = \frac{0!}{a\cdot\left(a+1\right) ...\left(a+0\right) } \end{eqnarray*}$

soweit es mich nicht täuscht kommt auf beiden Seiten raus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$
die Klammern fallen ja auf der rechten Seite weg, da n und k =0?

Als IV ist klar:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \frac{~-1^{k}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}}{a+k} = \frac{n!}{a\cdot\left(a+1\right) ...\left(a+n\right) } \end{eqnarray*}$

IS n -> n+1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~\frac{(-1)^k \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}}{a+k} = \sum_{k=0}^n~\frac{(-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}}{a+k}+ \frac{-1^{n+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} }{a+n+1} \end{eqnarray*}$

dann habe ich die Induktionsvoraussetzung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{a\cdot\left(a+1\right) ...\left(a+n\right) }+\frac{-1^{n+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} }{a+n+1} \end{eqnarray*}$

dann habe ich umgeformt:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{a\cdot\left(\left(a+n\right)!\right) }+\frac{-1^{n+1} }{a+n+1} \end{eqnarray*}$

auf den gleichen Nenner gebracht, dabei kommt im Zähler leider viel Müll raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!*\left(a+n+1\right)-1^n+1a\cdot\left(\left(a+n\right)!\right)}{a\cdot\left(\left(a+n\right)!\right)* \left(a+n+1\right)} \end{eqnarray*}$

Und letztendlich habe ich zwar den richtigen Nenner, aber einen falschen Zähler eralten, aber ich glaube mein Fehler liegt bei der Umformung des Nenners, da man dort ja quasi nicht mehr n=0 einsetzen kann, es wäre nett könnte mir jemand helfen.

Obwohl im Zähler ja quasi auch schon das drin ist was ich brauche: $\begin{eqnarray*} {n!*\left(n+1\right)} \end{eqnarray*}$ , aber den Rest kürzt sich leider nicht weg.

EDIT: Latex verbessert und fehlende Klammern ergänzt. (klarsoweit)

22.10.2009, 08:40

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion
Dein Fehler liegt an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Dreistein
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~\frac{(-1)^k \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}}{a+k} = \sum_{k=0}^n~\frac{(-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}}{a+k}+ \frac{-1^{n+1}\begin{pmatrix} n+1 \\ n+1 \end{pmatrix} }{a+n+1} \end{eqnarray*}$

Der Binomialkoeffizient in der Summe lautet doch $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ und du machst da einfach $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ draus. unglücklich

22.10.2009, 09:37

Dreistein

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Ich muss das n+1 da doch rausnehmen, weil ich ja über dem Summenzeichen aus n+1 wieder n mache und die Summer von n+1 kommt ja dahinter, oder?

22.10.2009, 09:51

klarsoweit

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Der Laufindex k geht nur noch bis n, wenn du den Summanden für k=n+1 rausnimmst. Du darfst aber dadurch nicht die Form der Summanden verändern.

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