Grenzwert bzw. ganz IR als Häufungsp.

27.09.2006, 00:14

ArminTempsarian

Grenzwert bzw. ganz IR als Häufungsp.

Guten Abend allerseits.

Hätte da zwei kurze Fragen, vielleicht könnte mir ja gütigerweise jemand weiterhelfen, bzw. bestätigen, dass

1.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)+nq+(n-1)q^2+...+2q^{n-1}+q^n}{n} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

dass der ganze Humpen auf der linken Seite also nur eine "verkleidete" geometrische Reihe ist (für IqI < 1).

und
2.

Wenn eine Folge gesucht ist, wobei die Menge der Häufungspunkte dieser Folge ganz IR sein soll; dass diese Folge dann in etwa folgendermaßen aussieht:

Ich nehm als Folge die Folge der rationalen Zahlen. Wegen der Abzählbarkeit von IQ gibt es eine Bijektion zu IN. (So in Cantor-Art). Wegen der Dichtheit von IR\IQ in IR und wegen der Dichtheit von IQ in IR ist gesichert, dass in jeder epsilon-Umgebung jeder reellen Zahl unendlich viele reelle Zahlen liegen. (Skizze) Kommt das so hin?

Vielen Dank schonmal im Voraus

27.09.2006, 00:47

Mazze

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Zu Erstens:

Schreib doch mal die Reihe in eine Summenformel, dann stehts ja schon fast da.

Zu Zweitens fällt mir grad so schnell nichts ein.

edit

Ich hab bei erstens grad n kleinen Fehler gemacht, also ertsmal nicht für zu ernst nehmen den Hinweis.

27.09.2006, 00:48

therisen

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Hallo,

ad 2) Wer suchet, der findet: Häufungspunkte einer Folge

Gruß, therisen

EDIT: Doppelten Slash aus URL entfernt

27.09.2006, 00:49

JochenX

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zweiteres ist richtig, ersteres müsste falsch sein, links steht KEINE geometrische Reihe

hoffentlich ist meine Aussage zum ersteren richtig, zum zweiteren findest du übrigens auch eine Diskussion hier im Forum.

Ich suche eben..... (edit: lol, danke für's Suchen, Michi Freude

)

27.09.2006, 00:56

sqrt(2)

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RE: Grenzwert bzw. ganz IR als Häufungsp.

Zitat:

Original von ArminTempsarian
bestätigen, dass

1.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)+nq+(n-1)q^2+...+2q^{n-1}+q^n}{n} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$

dass der ganze Humpen auf der linken Seite also nur eine "verkleidete" geometrische Reihe ist (für IqI < 1).

Wie LOED schon sagte, es ist keine, sondern

$\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{k=0}^n\frac{(n+1-k)q^k}{n} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich mit einem Verfahren ähnlich der Teilsummenbestimmung bei der geometrischen Reihe umformen zu

$\begin{eqnarray*} (1-q)s_n = 1+\frac{1}{n} - \frac{q}{n}\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

Dass $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ dann gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ konvergiert, dürfte klar sein.

27.09.2006, 01:22

ArminTempsarian

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RE: Grenzwert bzw. ganz IR als Häufungsp.
Vielen Dank für die zahlreichen Antworten

ad 2) werd mich nächstes mal bemühen sorgfältiger (und d. h. insbesondere überhaupt) zu suchen.

ad 1) da hab ich mich wohl missverständlich ausgedrückt. Hab in etwa folgendes gemeint: für n gegen oo konvergiert das Ding zum gleichen Grenzwert wie die geom. Reihe 1+q+q^2+...q^n, nämlich 1/(1-q).

Also Danke nochmal für eure Bemühungen

27.09.2006, 10:27

Mazze

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So jetzt hab ich's auch geschaft erstens zu zeigen Augenzwinkern

Alternativ also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^n~(n+1-i)q^i}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^n~nq^i + \sum_{i=0}^n~q^i(1-i)}{n} \end{eqnarray*}$

die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty~q^i(1 - i) \end{eqnarray*}$ zeigt man mittels Quotientenkriterium und da alle Summanden dann konvergieren darf man die Grenzwertsätze benutzen.

Sollte so funktionieren.

27.09.2006, 15:33

therisen

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Zitat:

Original von Mazze
die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty~q^i(1 - i) \end{eqnarray*}$ zeigt man mittels Quotientenkriterium und da alle Summanden dann konvergieren darf man die Grenzwertsätze benutzen.

Mit dem Nachteil, dass man den Grenzwert selbst dann nicht weiß Augenzwinkern

27.09.2006, 15:40

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Eine "künstliche" Summierung über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ eingeführt, und dann Summation vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n ~ (n+1-k)q^k = \sum_{k=0}^n ~ \sum_{m=k}^n ~ q^k = \sum_{m=0}^n ~ \sum_{k=0}^m ~ q^k = \sum_{m=0}^n ~ \frac{1-q^{m+1}}{1-q} = \frac{1}{1-q} \left[ (n+1)-q\sum_{m=0}^n ~ q^m\right] = \frac{1}{1-q} \left[ (n+1)-q\frac{1-q^{n+1}}{1-q} \right] \end{eqnarray*}$

27.09.2006, 20:09

sqrt(2)

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Dann führe ich mein Verfahren auch noch einmal aus...

$\begin{eqnarray*} s_n &=& \frac{1}{n}((n+1)+nq+(n-1)q^2+...+2q^{n-1}+q^n) \\ qs_n &=& \frac{1}{n}((n+1)q+nq^2+(n-1)q^3+...+2q^n+q^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Voneinander abgezogen:

$\begin{eqnarray*} (1-q)s_n &=& \frac{1}{n}(-q-q^2-q^3-...-q^n-q^{n+1} + (n+1)) \\ &=& 1+\frac{1}{n} - \frac{q}{n}\sum_{k=0}^n q^k \end{eqnarray*}$

27.09.2006, 21:32

Mazze

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Zitat:

Mit dem Nachteil, dass man den Grenzwert selbst dann nicht weiß

Den man in dem Fall ja nicht braucht, da lim n -> oo von c/n = 0 ist und c ja so gewählt werden kann das es größer als die Reihe ist. Aber der Reihenwert interessiert mich auch und irgendwie krieg ich da nichts gescheites raus verwirrt

28.09.2006, 00:46

ArminTempsarian

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ich bin einigermaßen verwirrt...

@ therisen, ich hab das auch so gemacht wie mazze, was ist daran ungenügend?! Die linke reihe konvergiert gegen 1/(1-q), die rechte gegen 0 (weil IqI < 1), überseh ich da was?! Und wieso weiß man da den Grenzwert nicht?

Gruß Armin

28.09.2006, 00:52

Mazze

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Ich vermute er meinte nicht den Grenzwert sondern den Reihenwert von

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty~q^i(1 - i) \end{eqnarray*}$

Den Grenzwert bekommt man ja heraus.

edit:

Ums genauer zu machen. Da

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^\infty~q^i(1 - i) \end{eqnarray*}$

konvergiert, finden wir Konstanten $\begin{eqnarray*} c,d \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so das

$\begin{eqnarray*} c \leq \sum_{i=0}^\infty~q^i(1 - i) \leq d \end{eqnarray*}$

Naja, und dann schätzt man ab und kommt auf die 0. Dabei ist auch egal ob die Reihe negativ oder positiv wird da c/n und auch d/n gegen 0 gehn.

28.09.2006, 01:30

ArminTempsarian

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Achso, verstehe...

na ja, ich hab das mal mit ein paar konkreten q's ausprobiert, aber ich kann da auf die schnelle auch kein allgemeines bildungsgesetz angeben.

irgendeines gibts aber vermutlich. Wenn man z. B. für q = 1/3, 1/4, 1/5 usw. setzt, bekommt man als Grenzwert 3/4, 8/9, 15/16, 24/25 usw., für die ein Bildungsgesetz einfach zu finden ist.

Gruß Armin

28.09.2006, 02:13

sqrt(2)

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty(1-k)q^k = \frac{1-2q}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

Lösungsweg siehe oben.

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