WT: Produktraum / Cantorprinzip

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Harald Auf diesen Beitrag antworten »
WT: Produktraum / Cantorprinzip
Hallo ihr,
aufgrund einer baldigen Prüfung habe ich 2 dringende Fragen, wäre super nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte:

1. Konstruktion eines W-raums (Omega, Sigma-Algebra, W.-Maß) für den unendlichen Münzwurf: Ich habe mir folgendes überlegt: Omega ist das kartesische Produkt der Mengen ({0,1}) die Produkt-Sigmaalgebra ist die von den Projektionen (X i: Omega nach ({0,1})) erzeugte Sigmaalgebra. Mein Problem ist beim Produktmaß in diesem konkreten Fall. Wie kann ich dieses für den unendlichen Fall angeben? Kann ich hier nur endlichen Ereignissen eine Wkeit zuordnen oder z.B. auch dem Ereignis unendlich oft die 1 zu würfeln (oder geht das dann in Richtung 0-1 Gesetze)

2. Diese Frage bezieht sich auf das in Frage 1 gebildete kartesische Produkt der ({0,1}). Ist dieses "unendliche karthesische Produkt" abzählbar oder überabzählbar?
Ich habe überlegt, dies irgendwie vielleicht mit dem Cantorprinzip lösen zu können... Kann mir jemand helfen?

Ich danke Euch ganz herzlich für eure Bemühungen!!
Liebe Grüße, Harald.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: WT: Produktraum / Cantorprinzip
Zitat:
Original von Harald
1. Konstruktion eines W-raums (Omega, Sigma-Algebra, W.-Maß) für den unendlichen Münzwurf: Ich habe mir folgendes überlegt: Omega ist das kartesische Produkt der Mengen ({0,1}) die Produkt-Sigmaalgebra ist die von den Projektionen (X i: Omega nach ({0,1})) erzeugte Sigmaalgebra. Mein Problem ist beim Produktmaß in diesem konkreten Fall. Wie kann ich dieses für den unendlichen Fall angeben? Kann ich hier nur endlichen Ereignissen eine Wkeit zuordnen oder z.B. auch dem Ereignis unendlich oft die 1 zu würfeln (oder geht das dann in Richtung 0-1 Gesetze)


Die Existenz und Eindeutigkeit dieses W-Maßes liefert dir der Satz v. Andersen-Jessen. Damit kannst du allen Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit zuordnen, die in der Sigma-Algebra enthalten sind. Wirklich angeben lässt sich das W-Maß denke ich nicht, du hast aber die Eigenschaft, dass es mit dem endlichen Produkt entsprechender Maße übereinstimmt, wenn du nur Zylindermengen betrachtest.

Zitat:
2. Diese Frage bezieht sich auf das in Frage 1 gebildete kartesische Produkt der ({0,1}). Ist dieses "unendliche karthesische Produkt" abzählbar oder überabzählbar?
Ich habe überlegt, dies irgendwie vielleicht mit dem Cantorprinzip lösen zu können... Kann mir jemand helfen?


Das ist im Vergleich zur obigen Frage leicht: das kartesische Produkt entspricht hier der Menge der Nachkomma-Dualzahlen, die du bijektiv auf das Einheitsintervall abbilden kannst.

Grüße Abakus smile
Harald Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank, das mit der überabzählbarkeit habe ich nun kapiert!!! super!

zu meiner ersten frage: den satz von Andersen-Jessen haben wir nicht gemacht in der vorlesung... wir haben ionescu-tulcea gemacht (siehe z.b. http://www.math.uni-hamburg.de/home/dadu...1-0405/Smor.pdf) und ihn dann auf überabzählbar viele räume verallgemeinert.. allerdings gilt ja schon bei ionescu-tulcea, dass nur ENDLICH viele Ai's von Omega(i) verschieden seien dürfen... und das verwirrt mich!! Das heißt ja, dass unendliche ereignisse (ich meine sowas wie z.b. unendlicher münzwurf dem ergebnis, immer kopf zu werfen) keine wkeit zugeordnet werden kann, oder?

danke für deine hilfe!!!
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz v. Ionescu-Tulcea ist allgemeiner als der von Andersen-Jessen, ja. Die Frage ist hier jeweils, welche Mengen in der Sigma-Algebra drin sind: zunächst ja die Zylindermengen als Erzeugendensystem.

Aber weiterhin auch zB: und auch .

Und da gibt es dann mehr als die Zylindermengen.

Grüße Abakus smile

edit: Latex
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