Ereignisraum/auf Verteilung schliessen

27.09.2006, 00:40

Mazze

Ereignisraum/auf Verteilung schliessen

Also ich habe folgenden Ereignisraum

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{ (x,y) : x,y \in \{1 .. n \} \} \end{eqnarray*}$

und ich weiß das folgendes gilt

I) $\begin{eqnarray*} P((x = i, y = i) ) = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} P((x = i,y = j)) = P((x = j , y = i)) \end{eqnarray*}$

reicht das schon um auf die Verteilung schliessen zu können? Als zusätzliche Information hätte ich noch das x und y die Werte aus 1..n Gleichverteilt annehmen (manmuss da natürlich auf I) aufpassen).

27.09.2006, 12:04

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Zitat:

Original von Mazze
Also ich habe folgenden Ereignisraum

$\begin{eqnarray*} \Omega = \{ (x,y) : x,y \in \{1 .. n \} \} \end{eqnarray*}$

und ich weiß das folgendes gilt

I) $\begin{eqnarray*} P((x = i, y = i) ) = 0 \end{eqnarray*}$
II) $\begin{eqnarray*} P((x = i,y = j)) = P((x = j , y = i)) \end{eqnarray*}$

reicht das schon um auf die Verteilung schliessen zu können?

Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ reicht das, für $\begin{eqnarray*} n\geq 3 \end{eqnarray*}$ aber definitiv nicht. Stell dir die Einzelwahrscheinlichkeiten der zweidimensionalen Verteilung als nxn-Matrix vor: Bisher hast du lediglich die Bedingungen
* alle Einträge nichtnegativ
* Die Summe aller n² Matrixeinträge ist gleich Eins
* Diagonalenwerte sämtlich Null
* Matrix ist symmetrisch

Zitat:

Original von Mazze
Als zusätzliche Information hätte ich noch das x und y die Werte aus 1..n Gleichverteilt annehmen (manmuss da natürlich auf I) aufpassen).

Das ist schon etwas mehr Information:
* alle Zeilen- und Spaltensummen sind jeweils gleich 1/n
Zumindest für n=3 ist jetzt die Verteilung festgeklopft, für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ aber noch nicht:

Im Fall n=4 erfüllt jede Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & a & b & c\\ a & 0 & c & b\\ b & c & 0 & a\\ c & b & a & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit nichtnegativen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ und Summe $\begin{eqnarray*} a+b+c=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ alle Bedingungen. Man hat also zwei "Freiheitsgrade" übrig.

27.09.2006, 15:01

Mazze

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