n erste Quadratzahlen

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Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »
n erste Quadratzahlen
Hallo smile

Ich habe folgende Aufgabe, Teil a ist gelöst und soweit verstanden. Mein Problem besteht nun darin, dass ich Aufgabenteil b nicht ganz verstehe von der Formulierung her.

Zitat:

Aufgabe
(a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion ist eine natürliche Zahl.
(b) Ermitteln Sie mit Hilfe von Aufgabenteil (a) die Summe der n ersten Quadratzahlen für n = 100.


Kann mir da wer weiterhelfen?
Wäre super x)
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Der Aufgabensteller wollte wohl besonders witzig sein, indem er den eigentlichen Kern der Aufgabe verschwieg:

Zeige einfach die Summenformel



(rechts üblicherweise eher geschrieben), dann ist bei a) alles sofort klar und nichts weiter zu beweisen. Und b) macht dann auch endlich Sinn.
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Der Aufgabensteller wollte wohl besonders witzig sein, indem er den eigentlichen Kern der Aufgabe verschwieg:

Zeige einfach die Summenformel



(rechts üblicherweise eher geschrieben), dann ist bei a) alles sofort klar und nichts weiter zu beweisen. Und b) macht dann auch endlich Sinn.


Würde das bedeuten, dass ich allen ernstes die Summe von n=1 bis n=100 ausschreiben und ausrechnen muss?
Denn er sagt mir ja, ich soll die Summe ausrechnen. Fände ich persönlich etwas nervig.
Wenn es denn so ist, gibt es dann auch eine schnellere Methode als es so zu machen?

Ausserdem habe ich a) etwas anders als du es beschrieben hast "gelöst"

Ich habe genommen.
Mit dem Hintergrund, dass eine natürliche Zahl addiert mit dem Quadrat einer natürlichen Zahl auch immer eine natürliche Zahl ist.
Und damit habe ich die vollständige Induktion gemacht und konnte auch beweisen, dass die Relation wahr ist und der voredere Term somit immer eine natürliche Zahl ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab doch gesagt, wie es schneller geht:

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zeige einfach die Summenformel


... für alle natürlichen Zahlen , am besten durch vollständige Induktion.
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, na das ist doch aber genau das gleiche was ich geschrieben habe wie mir eben erstmal aufgefallen ist.

Ich habe doch aber auch gesagt, dass Teil a gelöst ist.

Ich möchte doch einfach nur wissen, ob ich die Aufgaabenstellung richtig verstanden habe und ausrechnen soll und wenn ja, ob es dafür eine schnellere Variante gibt als die ganzen einzelnen Quadratzahlen auszurechnen und dann zu addieren?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@Arthur

Kann hier ausnahmsweise deinen Standpunkt nicht teilen... Mit der Bezeichnung



wird man für den induktiven Beweis im ersten Teil der Aufgabe praktisch "gezwungen"



zu berechnen, was eben dann nicht nur Teil a) löst, sondern mit Hilfe von



sofort auch eine Summenformel für Teil b) hergibt...
 
 
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
@Arthur

Kann hier ausnahmsweise deinen Standpunkt nicht teilen... Mit der Bezeichnung



wird man für den induktiven Beweis im ersten Teil der Aufgabe praktisch "gezwungen"



zu berechnen, was eben dann nicht nur Teil a) löst, sondern mit Hilfe von



sofort auch eine Summenformel für Teil b) hergibt...


Keine Ahnung, aber hat das irgendwas mit meiner Frage zu tun gehabt, ob ich b) so
Zitat:
Original von Tawnos
ausrechnen muss?

Wenn ja, dann habe ich das nicht herauslesen können.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tawnos
Keine Ahnung, aber hat das irgendwas mit meiner Frage zu tun gehabt, ob ich b) so
Zitat:
Original von Tawnos
ausrechnen muss?

Wenn ja, dann habe ich das nicht herauslesen können.


War zwar an Arthur gerichtet, aber auch aus meinem Posting hättest du noch einmal (zum wievielte Male eigentlich?) herauslesen können, dass



ist.d.h., du brauchst die Quadrate nicht einzeln addieren.. Big Laugh
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von Tawnos
Keine Ahnung, aber hat das irgendwas mit meiner Frage zu tun gehabt, ob ich b) so
Zitat:
Original von Tawnos
ausrechnen muss?

Wenn ja, dann habe ich das nicht herauslesen können.


War zwar an Arthur gerichtet, aber auch aus meinem Posting hättest du noch einmal (zum wievielte Male eigentlich?) herauslesen können, dass



ist.d.h., du brauchst die Quadrate nicht einzeln addieren.. Big Laugh


Mist, ja, es hat klick gemacht, sry ^^*
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Kann hier ausnahmsweise deinen Standpunkt nicht teilen...

Welchen Standpunkt???

Zitat:
Original von Mystic
Mit der Bezeichnung



wird man für den induktiven Beweis im ersten Teil der Aufgabe praktisch "gezwungen"



zu berechnen

Nein, wird man nicht - man kann ja auch die Fälle modulo 6 (bzw. modulo 2 und modulo 3), ohne die Differenz berechnen zu müssen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Der Aufgabensteller wollte wohl besonders witzig sein, indem er den eigentlichen Kern der Aufgabe verschwieg:

Zeige einfach die Summenformel



(rechts üblicherweise eher geschrieben), dann ist bei a) alles sofort klar und nichts weiter zu beweisen. Und b) macht dann auch endlich Sinn.


Ich meinte mit "Standpunkt", deine oben m.E. doch klar zum Ausdruck kommende Meinung, dass das Beispiel so ""am Kern der Sache vorbei" gestellt sei, dass sich der Aufgabensteller der Summenformel, so habe ich das jedenfalls verstanden, von der "Mascheckseite" her nähert, wie man auf gut österreichisch auch sagt... Ich bin halt in diesem Punkt anderer Meinung, weil die Betrachtung von Differenzenfolgen, auf die man in Teil a) in natürlicher Weise geführt wird, den Kern des Problems genau trifft... Ist aber jetzt nur meine Meinung oder "just my 2 cents", wie man im Englischen auch sagt... Augenzwinkern

Edit: Den Zusatz mit der Fallunterscheidung hab ich erst jetzt gelesen, ich würde trotzdem meinen oben skizzierten Weg für naheliegender halten, um Teil a) auf induktivem Weg, wie vom Aufgabensteller gefordert, zu zeigen...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, so bleibt eben jeder bei seiner Meinung. Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Tja, so bleibt eben jeder bei seiner Meinung. Augenzwinkern


Wenigstens hätten wir jetzt geklärt, dass es überhaupt verschiedene Standpunkte gibt.... Augenzwinkern

Interssieren würde mich aber doch noch wie nun genau dein Beweis von

Aufgabe
(a) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion ist eine natürliche Zahl.

mit bloßen Teilbarkeitsbetrachtungen aussieht... Ich seh zwar natürlich sofort, dass der Zähler von



stets durch 6 teilbar ist, was ja eigentlich vollkommen ausreichen sollte, aber der Induktionsanfang und der Schluss von n auf n+1 sind dann irgendwie redundant... Big Laugh
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ich hoffe ich verstehe irgendwann auch mal so gut was ihr meint, wie ihr es gerade tut Big Laugh

Auf jeden Fall habe ich den Weg per hinschreiben zuerst gewählt gehabt.
Also habe ich für aufeinanderfolgende n den term ausgerechnet und daraus eine andere Bildungsvorschrift gebildet



Naja und da hat man dann ja gesehen, dass die Differenz zwischen den verschiedenen n immer ist.

Daraus folgte dann zwangsläufig, dass war.

Der Hinweis mit der Summenformel war dann sehr hilfreich. Ich bin damit einfach noch nicht lange genug vertraut, als dass ich darauf immer komme.

Aber die Induktion war dann nichtsdestotrotz, egal ob nun mit oder mit der Rekursion kein Problem.

Es hat dann nur halt echt lange gedauert, bis ich das mit dem n=100 geblickt hatte.

Also danke nochmal Wink
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tawnos
Ohje, ich hoffe ich verstehe irgendwann auch mal so gut was ihr meint, wie ihr es gerade tut Big Laugh

Übung macht den Meister, wie es so schön heißt, also beharrlich an der Sache dranbleiben... Freude

Denn vor allem, wenn ich solche Sachen lese wie
Zitat:
Original von Tawnos
Auf jeden Fall habe ich den Weg per hinschreiben zuerst gewählt gehabt.
Also habe ich für aufeinanderfolgende n den term ausgerechnet und daraus eine andere Bildungsvorschrift gebildet



Naja und da hat man dann ja gesehen, dass die Differenz zwischen den verschiedenen n immer ist.

Daraus folgte dann zwangsläufig, dass war.


dann sehe ich, dass da noch ganz fundamentale Mißverständnisse bei dir da sind...

Niemals kann man nämlich einen Beweis, der unendlich viele Fälle umfaßt, dadurch führen, indem man nur einige wenige dieser Fälle betrachtet, für welche die Behauptung dann stimmt... Das ist allerhöchstens eine sog. "Plausibilitätsbetrachtung" oder "heuristische Überlegung", aber sicher kein Beweis...

Zunächst einmal gilt (mit meinen Bezeichnungen)



d.h. du hast dich außerdem noch in den Indizes geirrt, aber vor allem kann der Nachweis nur dadurch erbracht werden, indem man den Ausdruck



solange ausmultipliziert und vereinfacht, bis eben zum Schluss dann herauskommt... Wenn du diese Erkenntnis aus diesem Thread mitnimmst, dann hätte er echt was gebracht...
Zitat:
Original von Tawnos
Es hat dann nur halt echt lange gedauert, bis ich das mit dem n=100 geblickt hatte.


Ja, das war in der Tat eine schwere Geburt... Augenzwinkern

Aber wir haben alle unsere Blackouts, für mich gilt das sowieso, wie ich in anderen Threads hier schon bewiesen habe, aber auch Arthur dürfte hier eines gehabt haben (was bei ihm ja jetzt wirklich selten vorkommt!), als er offenbar ganz übersehen hat, dass Teil a) der Aufgabe ausdrücklich mit vollständiger Induktion zu beweisen war... Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

War an meinem Vorschlag

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zeige einfach die Summenformel



(rechts üblicherweise eher geschrieben), dann ist bei a) alles sofort klar und nichts weiter zu beweisen.

irgendwas derart falsch, dass du hier das starke Wort "Blackout" in den Mund nehmen musst? Aber wenn es dir ein Fest ist, das zu behaupten, dann feiere mal schön.


PS.: ... und danke, dass du keine PNs empfängst.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Zitat:
Original von Mystic
Mit der Bezeichnung



wird man für den induktiven Beweis im ersten Teil der Aufgabe praktisch "gezwungen"



zu berechnen

Nein, wird man nicht - man kann ja auch die Fälle modulo 6 (bzw. modulo 2 und modulo 3), ohne die Differenz berechnen zu müssen.


Im Grunde geht es mir nur um diese Aussage von dir, dass man Teil a) im Sinne des Aufgabenstellers auch mit reinen Teilbarkeitsbetrachtungen lösen kann, dass man also nicht, wie ich oben geschrieben habe praktisch "gezwungen" wird



in Teil a) zu berechnen, woraus dann b) leicht folgt...

Wäre dieses Argument von dir stichhaltig gewesen, so wäre tatsächlich meine ganze Argumentation dafür, dass die Aufgabe insgesamt Sinn macht, wie ein Kartenhaus zusammengebrochen, was auch der Grund dafür ist, dass ich mich mit "Händen und Füßen" dagegen wehre...

Was die andere Sache betrifft, ob man die Aufgabe so oder anders stellen sollte, ist das eine reine Geschmackssache, wo man dann tatsächlich verschiedenen Meinungen haben kann... Ich persönlich liebe es, wenn eine Aufgabe, die ich schon dutzendmal gerechnet habe, einmal in einem neuen Gewand daherkommt, soferne man der Aufgabe dabei "keine Gewalt antut"... Wie es scheint, gehen gerade in diesem Punkt unsere Meinungen auseinander...

Das mit "Blackout" hat sich jetzt einfach so ergeben, wobei ich den Ausdruck jetzt selber als nicht so schlimm empfinde... Wenn du das anders siehst, wie es offenbar der Fall ist, tut mir das leid... unglücklich

Wie ich ja auch geschrieben habe, kommt es höchst selten vor, dass du dich mal irgendwo irrst (in meinen Augen, wohlgemerkt!), so dass es mir jetzt nicht gerade ein "Fest", aber doch eine gewisse Beruhigung ist, dass es sowas wie "Unfehlbarkeit" offenbar nicht gibt... Augenzwinkern

Und ja, PNs habe ich nicht, weiß aber auch nicht, wozu das jetzt wichtig wäre...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Und ja, PNs habe ich nicht, weiß aber auch nicht, wozu das jetzt wichtig wäre...

Wäre schön gewesen, aber wenn du nicht willst, dann eben nicht. Wink
Tawnos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Denn vor allem, wenn ich solche Sachen lese wie
Zitat:
Original von Tawnos
Auf jeden Fall habe ich den Weg per hinschreiben zuerst gewählt gehabt.
Also habe ich für aufeinanderfolgende n den term ausgerechnet und daraus eine andere Bildungsvorschrift gebildet



Naja und da hat man dann ja gesehen, dass die Differenz zwischen den verschiedenen n immer ist.

Daraus folgte dann zwangsläufig, dass war.


dann sehe ich, dass da noch ganz fundamentale Mißverständnisse bei dir da sind...

Niemals kann man nämlich einen Beweis, der unendlich viele Fälle umfaßt, dadurch führen, indem man nur einige wenige dieser Fälle betrachtet, für welche die Behauptung dann stimmt... Das ist allerhöchstens eine sog. "Plausibilitätsbetrachtung" oder "heuristische Überlegung", aber sicher kein Beweis...


Hm, naja ich bin an die Sache einfach nur rangegangen, wie wir es bespielhaft in eienr Übung hatten, also per ermitteln von einzelnen Werten auf eine Rekursion kommen. Genau das habe ich ja gemacht und habe dann per Rekursion die Induktion durchgeführt und das hatte ja soweit geklappt (:

Die Umformung hat soweit auch von alleine geklappt.
Aber nungut, ich habe es jetzt zumindestens verstanden und das ist mir schonmal viel wert.

Also danke vielmals an euch beide
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