Rechteck, maximaler Flächeninhalt [war: komische Aufgabe?!]

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Rechteck, maximaler Flächeninhalt [war: komische Aufgabe?!]
Hallo liebe Boardies,

ich habe hier eine Aufgabe mit der ich überhaupt nicht klar komme. Ich verstehe nicht einmal die Aufgabenstellung. Könntetihr mir bitte ein Tipp geben, wie ich vorgehen muss.

Aufgabe:
Welches Rechteck mit Umfang U=18cm hat den größten Flächeninhalt?


Mit freundlichen Grüßen

mathelover

edit: Habe den Titel mal etwas konkretisiert.
LG sulo
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Hast du schon Ableitungen kennengelernt? Damit lässt sich die Aufgabe lösen. smile
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Ableitung sagt mir jetzt leider nichts. Könntest du das bitte etwas näher beschreiben?
smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Das Ableiten (= Differenzieren) ist ein Thema der Oberstufe.
Im vorliegenden Fall stellt man eine Funktion mit 1 Variablen auf, leitet ab, setzt die Ableitung = 0 und erhält das Ergebnis für die Variable.

Wenn du das aber noch nicht hattest, müssen wir einen anderen Weg finden.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Ich bin in der Oberstufe, aber das hatten wir wirklich noch nicht unglücklich
Wie könnte denn die Funktion lauten?
größter flächeninhalt= hat das was mit dem maximalen Wert zu tun?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Wohl grade in der 11. ? Augenzwinkern Dann könnte die Aufgabe ein Einstieg sein, um den Zweck von Ableitungen konkret zu verdeutlichen.

Na, egal, es geht auch anders, nämlich über den Scheitelpunkt der Funktion, die ich eben erwähnt habe.
Der Anfang ist bei beiden Methoden denn auch gleich:

- Du brauchst die Formel für den Umfang eines Rechteckes. Dann setzt du deinen Wert (18) ein. Anschließend stellst du die Formel so um, dass du stehen hast: a = ....... (genauso gut geht auch b = ....; du musst dich halt für eine Variable entscheiden Augenzwinkern )
Soweit klar? smile
 
 
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Jop bin grad neu in der 11. smile
Also der Umfang für das Rechteck ist ja: 2*a + 2*b.
So jetzt soll ich 18 einsetzten.
2a+2b=18
2a=18-2b
a=9-b

Meinst du das so smile ?

Vielen Dank für deine Hilfesmile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Genau Freude , a=9-b brauchen wir nämlich für den nächsten Schritt.

Jetzt ist die Hauptbedingung dran: die Fläche des Rechtecks.
Hier muss die Formel aufgeschrieben werden und dann wird mit Hilfe deiner Umformung die Variable a durch den Ausdruck mir b ersetzt.
Alex-Peter Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Wenn Du die entsprechende Loesung nicht wie ueblich herleiten musst, dann kannst du antworten, dass ein Quadrat mit diesem Umfang die groesste Flaeche hat. Die richtige Antwort darauf ist dann einfach.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Also
A = a · b
A =a*(9-b)

und nunsmile ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
@Alex-Peter
Ich denke, Sinn der Aufgabe ist, genau diese übliche Herleitung durchzuführen. Eigentlich ist das Stoff der 9. Klasse, somit eine Wiederholung. Das Ganze dürfte didaktische Gründe haben. Ich denke nicht, dass der Lehrer/Lehrerin sehr erfreut über die (kluge Augenzwinkern ) logische Abkürzung wäre....

@Mathelover
Da hast nun gerade b durch den Ausdruck mit b ersetzt... Ist das ein Tippfehler?
Es bringt uns nicht weiter, denn Ziel ist ja eine Gleichung mir nur 1 Variable...Augenzwinkern
Also, lass das b stehen und ersetze das a smile
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
A =(9-b)*b
A=9b-b²
und jetztsmile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Jetzt hast du eine Funktion, die du auch f(b) = 9b-b² schreiben kannst.

Übrigens: Soweit ist die Rechnung identisch mit dem Weg über die Ableitung, jetzt trennen sich die Wege. Augenzwinkern

Zu der Funktion f(b) = 9b-b² muss nun nämlich der Scheitelpunkt gesucht werden. Weißt du noch, wie das geht?
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
f(b)=-b²+9b
=-1(b²-9b)
=-1[(b²-9b+20,25b²)-20,25b²]
=-1[(b - 4,5)²-20,25b²)]
=-1(b-4,5)²+20,25b²
S=(4,5/20,25)

Was ist jetzt der maximale Flächeninhaltsmile
20,25cm² odersmile ?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Also, das Ergebnis stimmt, aber auf dem Weg dorthin ist was falsch...

So stimmt es:
f(b)=-b²+9b
=-1(b²-9b)
=-1[(b²-9b+20,25)-20,25]
=-1[(b - 4,5)²-20,25)]
=-1(b-4,5)²+20,25
S=(4,5/20,25)

Das zweite b² war überflüssig Augenzwinkern

Das Schöne ist nun, der Scheitelpunkt verrät dir:
1. dass der Wert für b = 4,5 (cm) ist (das a lässt sich nun leicht errechnen) und
2. dass die Fläche des gesuchten Rechtecks 20,25 cm² ist

smile
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
a=b=4,5cm smile
also ist es ein Quader.

Aber was hat uns das jetzt gebrachtsmile ?
Diese ganze lange rechnung mit Umformung etc.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Zitat:
Original von Mathelover
a=b=4,5cm smile
also ist es ein Quader.


Ein Quader? verwirrt

Die Umformung war notwendig, damit du bei dieser Extremwertaufgabe mit nur 1 Angabe (mit Hilfe von und 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten) die beiden Unbekannten errechnen kannst.
Oder hättest du einen anderen Weg gewusst, die Aufgabe zu lösen? Augenzwinkern
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
ah ok smile
Ein quader deshalb, weil a und b 4,5 cm lang sind?
oder?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Wie wäre es mit Quadrat? Big Laugh

(Ein Quader ist ein Körper... Typ Schuhkarton Augenzwinkern )
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
achsooo ja tschuldigung ich meinte Quadrat Big Laugh Big Laugh Big Laugh Big Laugh


Vielen Dank für deine Hilfesmile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck, komische Aufgabe?!
Gern geschehen ...Wink
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