Schnittmenge der Vereinigung beliebig vieler mengen.

22.10.2009, 20:25

Schnittmenge der Vereinigung beliebig vieler mengen.

Folgendes soll ich bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\in\mathbb N}\{m2^{-n}\} \end{eqnarray*}$

finde keine ansatz. zumindest keinen der mich zu nem wirklichen ergebnis führt.

Kann mir zur zeit auch nicht vorstellen, wie die Lösungsmenge aussehen könnte um diese Vermutung zu beweisen...

23.10.2009, 01:19

Broele

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RE: Schnittmenge der Vereinigung beliebig vieler mengen.
wenn du dir $\begin{eqnarray*} \bigcup_{m\in\mathbb{N}}\{ma\} \end{eqnarray*}$ für festes a anschaust, dann sind das alle ganzzahligen Vielfachen von a

Jetzt musst du dir nur noch überlegen, was durch die Schnittmenge passiert

23.10.2009, 07:22

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Durch die schnittmenge bleibt doch erstmal nur noch $\begin{eqnarray*} a=2^{-n} \end{eqnarray*}$ weil, dass ja das einzige ist was in allen mengen enhalten ist oder?

23.10.2009, 08:24

klarsoweit

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RE: Schnittmenge der Vereinigung beliebig vieler mengen.
Manchmal hilft die Veranschaulichung mit konkreten zahlen. Dazu definieren wir für n aus N die Menge M_n als:

$\begin{eqnarray*} M_n := \bigcup_{m\in\mathbb N}\{m2^{-n}\} \end{eqnarray*}$

Kannst du für n = 1, 2 und 3 die Elemente von M_n angeben?

23.10.2009, 14:26

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$\begin{eqnarray*} M_n:=\{\frac{m}{2}\}\cup\{\frac{m}{4}\}\cup\{\frac{m}{8}\}=\{m/2,m/4,m/8\} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 21:06

Gasti

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Hallo,

Diese Schreibweise ergibt keinen Sinn, weil die Variable m „in der Luft hängt“ und so auch nicht passend belegt werden kann. Übrigens ist das Zeichen „:=“ unnötig, weil Du die Mengen ja nicht neu definierst, sondern die (vorhandene) Definition von klarsoweit übernimmst.

$\begin{eqnarray*} M_1 = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ m 2^{-1} \right\} = \left\{ \left. \frac{m}{2}\,\right|\, m \in \mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M_2 = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ m 2^{-2} \right\} = \left\{ \left. \frac{m}{4}\,\right|\, m \in \mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

u. s. w.

Und über diesen Mengen wird dann der Schnitt gebildet.

24.10.2009, 11:15

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Nur mal so ne vermutung. die schnittmenge ist doch {1/2} oder?

Reicht es dazu wenn ich für beispielsweise M1, M2, M3 bis zu der bestimmten Größe von m (sodass ich wieder 1/2 als element der Vereinigung habe) die liste der Elemente aufschreibe und dann zeige, dass bis hierhin immer 1/2 als einziges element in jeder der Vereinigungen enthalten ist?

24.10.2009, 11:48

Jacques

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Nur 1/2 als gemeinsames Element kann ja nicht sein.

Was ist mit

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{2}{2} = \frac{4}{4} = \frac{8}{8} = \ldots \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} = \frac{6}{4} = \frac{12}{8} = \ldots \end{eqnarray*}$

?

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ m 2^{-1} \right\} = \left\{ \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ m 2^{-2} \right\} = \left\{ \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ m 2^{-3} \right\} = \left\{ \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{1}{2}, \ldots \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$

24.10.2009, 11:59

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also alle vielfachen von 1/2. richtig?

sprich für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist die schnittmenge $\begin{eqnarray*} \{a/2\} \end{eqnarray*}$

edit: oder halt dann auf die aufgabe bezogen. $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\in\mathbb N}\{m/2^n\}=\{m/2\} \end{eqnarray*}$

24.10.2009, 12:20

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Es lässt sich ja l.etztlich jede dieser mengen $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ folgendermaßen darstellen.

$\begin{eqnarray*} M_1=\{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{2^0}\} M_2=\{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{2^1}\} M_3=\{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{2^2}\} . . . M_n=\{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}\} \end{eqnarray*}$

Die einzigen gemeinsamen elemente in jeder dieser Menge (sprich deren Schnittmenge) sind alle vielfachen m/2.

Für jedes n aus N differiert ja der 2. faktor von M_n. Das einzig konstante ist das vielfache von 1/2.

Ist das obige ne ausreichende Begründung für die Aufgabe?

24.10.2009, 12:51

Jacques

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Wie gesagt, Schreibweisen der Art

$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{m}{2} \right\} \end{eqnarray*}$

mit in einer in der Luft hängenden Variablen m sind nicht gut. Zumal man das als Außenstehender sicher als Menge mit einem einzigen Element interpretieren würde.

Schreibe stattdessen

$\begin{eqnarray*} \left\{ \left. \frac{m}{2} \,\right|\, m \in \mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

Oder wenn Du unbedingt eine Kurzschreibweise benutzen möchtest, dann gib die Grundmenge für die Variable an und mache deutlich, dass es keine feste Zahl ist:

Zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{m}{2} \right\}_{m \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$

(analog zur Folgenschreibweise)

Zur Aufgabe:

Deine Antwort ist natürlich richtig, aber ich finde die Begründung nicht soo einleuchtend.

Ich würde schreiben:

Für alle natürlichen Zahlen M und N gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{M}{2} = \frac{\overbrace{M \cdot 2^{N - 1}}^{\in \mathbb{N}}}{2^N} \in \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ \frac{m}{2^{N}} \right\} \end{eqnarray*}$

Also bei einer vorgegebenen natürlichen Zahl N kann jedes Vielfache von 1/2 in der Form x/(2^N) mit einer natürlichen Zahl x dargestellt werden und ist damit ein Element von

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ \frac{m}{2^{N}} \right\} \end{eqnarray*}$

Andere gemeinsame Elemente außer den Vielfachen von 1/2 gibt es nicht, weil die ja nicht in der Vereinigung

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ \frac{m}{2^{-1}} \right\} \end{eqnarray*}$

liegen.

Statt einer formalen Begründung könntest Du auch die Mengen Mn wie oben aufschreiben und jeweils einen Pfeil von den 1/2-Vielfachen durch alle Mn-Mengen ziehen. Dann wird ja genauso deutlich, dass alle Vielfachen von 1/2 in jeder der Mengen liegen.

24.10.2009, 13:12

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ich denke N kommt aus den natürlichen Zahlen.

Folglich ist doch $\begin{eqnarray*} \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ \frac{m}{2^{N}} \right\} \end{eqnarray*}$ für N=-1 gar nicht definiert oder?

24.10.2009, 13:17

Jacques

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Sorry, ich meinte

$\begin{eqnarray*} m \cdot 2^{-1} \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{m}{2^1} \end{eqnarray*}$

Also andere Zahlen als Vielfache von 1/2 können nicht im Durchschnitt liegen, weil sie nicht Element von

$\begin{eqnarray*} M_1 = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} \left\{ \frac{m}{2^1} \right\} \end{eqnarray*}$

sind.

24.10.2009, 14:41

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hab gleich noch ne ähnliche aufgabe hintendran zu hängen.

zu bestimmen ist:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\in\mathbb N}\{\frac{2m+1}{2^n}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in\mathbb N}\bigcup_{m\in\mathbb N}\{\frac{2m+1}{2^n}\}=\{\} \end{eqnarray*}$

Beweis durch Widerspruch:

Wäre die schnittmenge nicht leer so gäbe es ein Element x, so dass unter Definition von $\begin{eqnarray*} M_n:=\bigcup_{m\in\mathbb N}\{\frac{2m+1}{2^n}\} \end{eqnarray*}$ so existiert, dass gilt x in M1 und x in M2.

$\begin{eqnarray*} M_1=\bigcup_{m\in\mathbb N}\{\frac{2m+1}{2}\}=\{3/2,5/2,7/2,9/2,...\} M_2=\bigcup_{m\in\mathbb N}\{\frac{2m+1}{4}\}=\{3/4,5/4,7/4,9/4,...\} \end{eqnarray*}$

Es folgt, damit x in M1 und x in M2, muss es wegen m aus N natürlcihe Lösungen von $\begin{eqnarray*} \frac{2m+1}{2}=\frac{2m+1}{4} \end{eqnarray*}$ geben.

$\begin{eqnarray*} \frac{2m+1}{2}=\frac{2m+1}{4} 8m+4=4m+2 4m=-2 m=-8 \end{eqnarray*}$

Da -8 nicht aus N, gibt es keine natürlichen Lösungen so, dass x in M1 und x in M2 gilt.

Das widerspricht der Annahme es gäbe ein solches x. -> schnittmenge ist leer.

24.10.2009, 15:10

Jacques

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Die Lösung stimmt wieder, aber die Begründung ist falsch.

Du zeigst: Wenn Du bei der Mengenbeschreibung von M1 und M2 jeweils dieselbe Zahl in die Variable m einsetzt, kommen unterschiedliche Ergebnis heraus. Aber das heißt nicht, dass M1 und M2 keine gemeinsamen Elemente hätten! Es könnte doch – als Beispiel – das „erste“ Element von M1 mit dem „hundersten“ von M2 übereinstimmen.

Du brauchst zwei voneinander unabhängige Variablen und musst dann zeigen:

Es gibt bei

$\begin{eqnarray*} \frac{2M + 1}{2} = \frac{2N + 1}{4} \end{eqnarray*}$

keine natürlichen Lösungen für M und N. Das heißt, welche Zahlenkombination man für M und N auch einsetzt, es kommt niemals dasselbe Ergebnis heraus.

Man könnte aber auch einfach so vorgehen:

Erweitert man ein Element

$\begin{eqnarray*} \frac{2m + 1}{2} \qquad m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

von M1 auf Viertel, erhält man

$\begin{eqnarray*} \frac{2m + 1}{2} = \frac{\overbrace{4m + 2}^{\textrm{gerade}}}{4} \notin M_2 = \left\{ \left. \frac{z}{4} \,\right|\, z \in \{3, 5, 7, \ldots \} \right\} \end{eqnarray*}$

24.10.2009, 15:17

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deine begründungen sind mir einleuchtend, ich verstehe aber nicht warum meine begründung falsch sein sollte.

Wenn es ein x gibt was in beiden mengen enthalten ist, dann lässt es sich als $\begin{eqnarray*} (2m+1)/2 und (2m+1)/4 \end{eqnarray*}$ darstellen. Das heißt es gibt eine lösung für m sodass x sich als beides darstellen lässt.

$\begin{eqnarray*} x=\frac{2m+1}{2} x=\frac{2m+1}{4} \frac{2m+1}{2}=\frac{2m+1}{4} \end{eqnarray*}$

Da m auf N begrenzt ist und herauskmmt das m=-0,5 (sry m=-8 war falsch hatte mich verrechnet) sein müsste, damit beide darstellungen von x erfüllt sind gibt es kein solches x was in beiden Mengen vorhanden ist.

Wenn ich mal das spielchen mache und den Definitionsbereich von m auf die reellen zahlen erweitere, dann wäre m=-0,5 eine lösung und es gäbe tatsächlich nur die 0 als gemeinsames element der beiden mengen.

...

24.10.2009, 15:27

Jacques

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Dein Fehler ist, dass Du nur eine Variable (m) nimmst, obwohl Du zwei voneinander unabhängige Variablen brauchst.

Die Elemente von M1 entstehen, wenn man für die Leerstelle $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl in

$\begin{eqnarray*} \frac{2\Box + 1}{2} \end{eqnarray*}$

einsetzt.

Und die Elemente von M2 entstehen, wenn man für $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl in

$\begin{eqnarray*} \frac{2\Box + 1}{4} \end{eqnarray*}$

einsetzt.

Weil Du die Leerstelle beidesmal m nennst, sagst Du: Setzt man in die Leerstelle jeweils dieselbe natürliche Zahl ein, kommen immer unterschiedliche Ergebnisse heraus. Aber das heißt nicht, dass es verschiedenen eingesetzten Zahlen auch immer unterschiedliche Ergebnisse gibt.

Es könnte doch sein, dass man dasselbe Element herausbekommt, wenn man oben für $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$ die Zahl 5 und unten für $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$ die Zahl 20 einsetzt.

Also Du brauchst zwei unterschiedliche Variablen, weil ja unterschiedliche Zahleneinsetzungen auch erlaubt sind.

24.10.2009, 15:42

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alles klar leuchtet mir jetzt ein.

Im grunde habe ich das zeigen wollen was du mit den beiden unabhängigen variablen gezeigt hast, habe aber nicht daran gedacht, dass ich wenn ich m in beiden einsetze ja vorraussetze, dass sozusagen dieses x in beiden Mengen zum selben zeitpunkt auftritt. (wenn m einen bestimmten wert hat).

Danke dafür!

24.10.2009, 18:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von RS
Es lässt sich ja l.etztlich jede dieser mengen $\begin{eqnarray*} M_n \end{eqnarray*}$ folgendermaßen darstellen.

$\begin{eqnarray*} M_1=\{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{2^0}\} M_2=\{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{2^1}\} M_3=\{\frac{m}{2}\cdot\frac{1}{2^2}\} \end{eqnarray*}$

Um das nochmal aufzugreifen:
Man kann auch leicht zeigen, daß $\begin{eqnarray*} M_n \subset M_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist, so daß also die Schittmenge M_1 ist.

Und bitte vermeide Zeilenschaltungen im Latexcode.

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Schnittmenge der Vereinigung beliebig vieler mengen.

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