Zeigen das injektivität, surjektivität und bijektivität äquivalent

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RS Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen das injektivität, surjektivität und bijektivität äquivalent
Sei n in N , sei . Zeigen Sie moeglichst
formal, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1) f ist injektiv.
2) f ist surjektiv.
3) f ist bijektiv.

verstehe vor allem nicht so richtig was ich da zeigen soll.

PS// wäre doch die eigenschaft der funktion oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache ist die, die Funktion bildet eine endliche Menge auf sich selber ab. Die Funktion muss dazu nicht näher definiert sein. Versuch dir erstmal das Grundlegende klar zu machen.

Sagen wir f wäre injektiv , da f eine Funktion ist ordnet f jedem genau eine Zahl . Also treffen wir jede Zahl. Das selbe für die Surjektivität. Ich würde es so zeigen :

dann


Die Äquivalenz zu 3) folgt dann sofort.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe noch nie die injektivität einer abb gezeigt die eine menge auf sich selbst abbildet. gilt da das normale kriterium, dass f(x)=f(y) --> x=y`?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Injektivitität ist immer das gleiche, die Definition ändert sich nicht. Du scheinst mit der generellen Aufgabe nichts anfangen zu können. Wenn Du die Äquivalenz von Aussagen zeigen sollst, sagen wir von 3 Aussagen A, B , C dann beweist Du :

und


Es geht auch der sogenannte Ringschluss :



daraus folgt auch die Äquivalenz. Was Du also machst ist folgendes :

Du nimmst an f ist injektiv und zeigst dann das f surjektiv ist. Dann nimmst Du an f ist Surjektiv und zeigst das f injektiv ist. Die Bijektivität folgt dann sofort.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme also an f sei injektiv, dann würde wegen der surjektivität gelten:



Damit wäre doch gezeigt, da p aus {1,...,m}, dass f(m) alle zahlen aus {1,...,m} trifft oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich nehme also an f sei injektiv, dann würde wegen der surjektivität gelten:


Falsch, Du nimmst an f ist injektiv und beweist das f dann surjektiv ist.

Zitat:


Falsche Richtung, Du musst annehmen, und zeigen das es ein m gibt mit .
 
 
RS Auf diesen Beitrag antworten »



also?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also?


Wenn Du annimmst das f injektiv ist, genau das musst Du zeigen. Das wäre im Übrigen
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab irgendwie keine ahnung wie ich das jetzt zeigen sollte. ich hab ja keine gleichung die ich nach x (bzw. m) umstellen kann um zu zeigen das f(m) tatsächlich p ist.

Wie muss ich, dass denn bei der abbildung einer menge auf sich selbst angehen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Den Beweis kannst Du per Widerspruch führen. Nehme an das f nicht surjektiv ist, dann kann f nicht injektiv sein. f ist aber injektiv, also kann f nicht nicht surjektiv sein, also ist f surjektiv. Das ist natürlich auszuformulieren.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Also Annahme, dass oder?

Da p aber aus der gleichen Menge wie m (nämlich N) ist. gibt es doch zu jedem f(m) aus N ein p aus N.

Ich wüsste nicht wie ich sonst in einer formel ausdrücken könnte, dass es für f(m) immer ein p aus N gibt.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

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RS Auf diesen Beitrag antworten »

So ich muss hier nochmal nachhaken, da auch nach einigen überlegungn mehr mir die aufgabe nicht so recht gelingen will.

Ich muss ja im ringschluss beweisen, dass wenn f injektiv ist, f surjektiv ist und wenn f surjektiv ist, f injektiv sein muss. (bijektivität folgt ja jedes mal aus der kombination von surjektivität und injektivität). Dann folgt, dass die aussagen f ist injektiv und f ist surjektiv äquivalent sind.

Also fange ich an und nehme an f ist injektiv. Nun muss ich zeigen, dass surjektiv ist.

Also mache ich dass durch widerspruch.

Ist f injektiv folgt:



Ich nehme nun an f kann "nicht surjektiv" sein.

Daraus folgt:



So ich muss ja nun zeigen, dass sich diese annahme mit der vorraussetzung das f injektiv ist widerspricht. Aber wie mache ich das am blödesten? Wo liegt hier der Ansatz?
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