Satz von Schröder-Bernstein

23.10.2009, 10:32

Airblader

Satz von Schröder-Bernstein

Hi,

im Zuge der LAAG-Vorlesung sollen wir den Satz von Schröder-Bernstein beweisen:

Zitat:

Satz von Schröder-Bernstein:
Seien A,B beliebige Mengen und $\begin{eqnarray*} f: A \mapsto B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: B \mapsto A \end{eqnarray*}$ zwei injektive Abbildungen.
Dann sind A und B gleichmächtig.

Das Ganze ist als Literaturrecherche gedacht und ich habe mir diesen Beweis mal angeschaut:
matheplanet.com - Beweis des Satz von Schröder-Bernstein

Nach etwas Nachdenken etc. komme ich mit dem Beweis auch gut mit. Nur eine Sache macht für mich gerade keinen Sinn, vielleicht stehe ich aber auch einfach auf dem Schlauch.
Und zwar kommt unten diese Kette von Teilmengen:

$\begin{eqnarray*} M \supseteq F(M) \supseteq F^2(M) \supseteq F^3(M) \supseteq \cdots \end{eqnarray*}$

Könnte mir jemand die hochgestellten Zahlen erklären? Deren Sinn will sich mir gerade nicht ergeben, weshalb es mir schwer fällt, zu verstehen, warum man diese Kette betrachtet, um den Fixpunkt zu finden.

Danke im Voraus,
air

23.10.2009, 11:24

Dunkit

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Ich habe mir den Beweis jetzt nicht komplett angeschaut, aber ich verstehe $\begin{eqnarray*} F^2(M) = F(F(M)) \end{eqnarray*}$ ?! D.h. $\begin{eqnarray*} F^i \end{eqnarray*}$ bedeutet du wendest $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -mal auf die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ an. Da $\begin{eqnarray*} F^{i+1} \end{eqnarray*}$ eine Obermenge von $\begin{eqnarray*} F^i \end{eqnarray*}$ ist folgt dann wohl mit den Lemmata vorher, dass im Durchschnitt dieser $\begin{eqnarray*} F^i(M) \end{eqnarray*}$ nurnoch ein Punkt liegt

23.10.2009, 13:20

Airblader

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Ah - das klingt natürlich sinnvoll, Danke! Freude

Ich habe den Sinn bzw. die Motivation noch nicht ganz durchguckt, spüre aber, dass mir da nicht mehr viel fehlt. Werde mir das heute Abend nochmal genau anschauen!

Danke!
air

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