Trigonometrische Gleichung umformen

27.09.2006, 13:52

flasher

Trigonometrische Gleichung umformen

Hallo,

ich habe folgende trigonometrische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} sin\frac{x}{2} = \pm \sqrt{ \frac{1 - cosx}{2}} \end{eqnarray*}$

Mir ist allerdings nicht klar wie man auf oben genannte Gleichung kommt:

Es steckt wohl folgendes Gesetz dahinter:

$\begin{eqnarray*} sinx = \sqrt{1-cos^{2}x} \end{eqnarray*}$

Ich bin so blind, und erkenne nicht, wie man die unten genannte Formel richtig umstellt, das obiges gilt!

Danke für einen Hinsweis!

Gruß,

Flasher

27.09.2006, 14:16

riwe

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RE: Trigonometrische Gleichung umformen
$\begin{eqnarray*} cosx=cos^{2}\frac{x}{2}-sin^{2}\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$
werner

27.09.2006, 14:16

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Zitat:

Original von flasher
Es steckt wohl folgendes Gesetz dahinter:

$\begin{eqnarray*} sinx = \sqrt{1-cos^{2}x} \end{eqnarray*}$

Ich bin so blind, und erkenne nicht, wie man die unten genannte Formel richtig umstellt, das obiges gilt!

Nur indirekt steckt das mit drin, aber das allein reicht nicht aus: Im wesentlichen ist es das Kosinus-Additionstheorem

$\begin{eqnarray*} \cos(u+v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} v=u \end{eqnarray*}$ , denn dann folgt

$\begin{eqnarray*} \cos(2u) = \cos^2(u) - \sin^2(u) = 1 - 2\sin^2(u) \end{eqnarray*}$ .

Ganz rechts wurde jetzt $\begin{eqnarray*} \cos^2(u) = 1 - \sin^2(u) \end{eqnarray*}$ genutzt. Und daraus ergibt sich dann mit $\begin{eqnarray*} u=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ und umgestellt

$\begin{eqnarray*} \sin^2\left( \frac{x}{2} \right) = \frac{1-\cos(x)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Dabei sollte man es auch bewenden lassen, die Darstellung

$\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{x}{2} \right) = \pm\sqrt{ \frac{1-\cos(x)}{2} } \end{eqnarray*}$

gibt zu Fehlinterpretationen Anlass, denn zu konkretem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt selbstverständlich nur eine der beiden Vorzeichenvarianten.

27.09.2006, 14:34

flasher

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Danke! Jetzt ist es klar!

Wie soll man denn da bitte drauf kommen. verwirrt

Unser Dozent krizelt den Ausdruck an die Tafel hin, setzt es dann gleich in die Grenwertbestimmung ein und der ganze Hörsaal kratzt sich nur am Kopf Big Laugh

27.09.2006, 15:05

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Ich merk mir sowieso immer nur die zwei Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:

$\begin{eqnarray*} \sin(u+v) = \sin(u)\cos(v) + \cos(u)\sin(v) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \cos(u+v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v) \end{eqnarray*}$

Alle anderen gehen über mehr oder weniger lange Wege daraus hervor.
Streng genommen reicht auch nur eins davon, wenn man noch $\begin{eqnarray*} \sin\left(u+\frac{\pi}{2}\right) = \cos(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos\left(u+\frac{\pi}{2}\right) = -\sin(u) \end{eqnarray*}$ nutzt - aber wir wollen mal nicht übertreiben. Augenzwinkern

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