zweielementige Potenzmenge

23.10.2009, 16:16

Simooon

zweielementige Potenzmenge

Ja Hallo erstmal an alle.
Ich habe zum WS mittem Mathematikstudium begonnen und komme bei einer aufgabe nicht weiter

Wir sollen durch vollst. Induktion beweisen für n>=2, nat. Zahl
P steht für die Potenzmenge
$\begin{eqnarray*} |P_{2}(\{1,...,n\})|=\frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Also habe ich nach dem IA gedacht, da sollte ja dann am Ende das rauskommen
$\begin{eqnarray*} |P_{2}(\{1,...,n+1\})|=\frac{(n+1)(n)}{2} \end{eqnarray*}$

Nachdem wir in der Vorlesung einen so ähnlichen beweis gemacht haben, nämlich für $\begin{eqnarray*} |P(\{1,...,n\})|=2^n \end{eqnarray*}$
dachte ich dass ich die Menge M aufteile in
$\begin{eqnarray*} M=\{1,..,n+1\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M^,=\{1,..,n\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} M=M^,\cup\{n+1\} \end{eqnarray*}$

Demnach wäre $\begin{eqnarray*} P_{2}(M)=Z_{1}\cup Z_{2} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} Z_{1}=\{x|x Teilmenge von M mit n+1\notin x und |x|=2\} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} Z_{2}=\{x|x Teilmenge von M mit n+1\in x und |x|=2\} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} |P_{2}(M)|=|Z_{1}|+ |Z_{2}| \end{eqnarray*}$

Und nach IV wäre $\begin{eqnarray*} |Z_{1}|=|Z_{2}|=|P_{2}(\{1,...,n\})|=\frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Nur irgendwie komme ich dann nicht auf das Ergebnis, welches ich mir gedacht habe.
Kann mir einer helfen meinen Fehler zu finden?
Danke im voraus...

23.10.2009, 16:33

Elvis

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Du hast definiert, $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ist Potenzmenge der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Was ist $\begin{eqnarray*} P_2(M) \end{eqnarray*}$ ? wenn du das nicht verrätst, kann dir niemand helfen.

23.10.2009, 17:15

Simooon

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Zitat:

Original von Elvis
Du hast definiert, $\begin{eqnarray*} P(M) \end{eqnarray*}$ ist Potenzmenge der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Was ist $\begin{eqnarray*} P_2(M) \end{eqnarray*}$ ? wenn du das nicht verrätst, kann dir niemand helfen.

Hmm, jetzt wo du das sagst... verwirrt

macht sinn...

Also $\begin{eqnarray*} P_2(M) \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Teilmengen vom M deren Betrag 2 ist, also alle die teilmengen von M, die 2 elemente haben.
Mein Prof hatte das definiert und ich dachte das wäre allgemeingültig/anerkannt.

23.10.2009, 18:05

kiste

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Naja das hätte Elvis schon wissen können, kann man ja am Ergebnis sehen Big Laugh

Man schreibt dafür auch(die Schreibweise kenne ich):
$\begin{eqnarray*} {M\choose 2} \end{eqnarray*}$ , wobei eben die Intuition ist dass es genau $\begin{eqnarray*} {|M|\choose 2} \end{eqnarray*}$ 2-elem. Teilmengen gibt.
Es gilt natürlich $\begin{eqnarray*} {|M|\choose 2} = \frac{|M|(|M|-1)}{2} \end{eqnarray*}$

Dein Ansatz ist richtig, aber es gilt nicht $\begin{eqnarray*} |Z_1| = |Z_2| \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} Z_1 \end{eqnarray*}$ kannst du Induktion benutzen, $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ musst du anderweitig bestimmen(nicht sehr schwer, schau dir genau an was du frei wählen kannst)

23.10.2009, 18:38

Simooon

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ahhh ach ja, natürlich.
$\begin{eqnarray*} Z_{2}=\{ \{1,n+1\},\{2,n+1\},...,\{n,n+1\} \} \end{eqnarray*}$
Demnach ist $\begin{eqnarray*} |Z_{2}|=n \end{eqnarray*}$
Das war doch sooo offensichtlich. Danke Kiste für den Stoß in die richtige Richtung.

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