Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Markov-Ketten

23.10.2009, 19:37

JohnnyBGood

Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Markov-Ketten

Hallo liebes Matheboard,
zu folgender Fragestellung hab ich leider nix gefunden, deswegen hier die Aufgabe mit meinen Lösungsversuchen..falls es schon einen ähnlichen Thread gibt reicht mir der Link als Antwort Augenzwinkern

Gegeben:
eine $\begin{eqnarray*} homogene Markovkette: X_0, X_1, X_2,... \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} Zustandsraum { }\{A,B\} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Uebergangsmatrix : P = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.7 \\ 0.6 & 0.4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
sowie $\begin{eqnarray*} Startverteilung :P(X_0 = A) = 0.2 \end{eqnarray*}$

Nun sind folgende Wahrscheinlichkeiten gefragt:
1. $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A) \end{eqnarray*}$

-> hier hab ich den Startvektor *(Übergangsvektor hoch 3) berechnet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.2 & 0.8 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0.447 & 0.553 \\ 0.474 & 0.526 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0.4686 & 0.5314 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wobei die 0.4686 das gewünschte Ergebnis darstellen oder hab ich das falsch verstanden?

Wenn nicht kommt hier die nächste Teilaufgabe:
2. $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_0 = A) \end{eqnarray*}$

-> bei dem bin ich mir nun gar nicht mehr sicher, da ich aus dem Skript nicht schlau wurde aber mir überlegt habe, dass dies einem Startvektor von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ entsprechen würde oder?
Als Ergebnis bekäme ich dann die 0.447 von der obigen Matrix.

3. $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_1 = B, X_0 = A) \end{eqnarray*}$

-> hier komm ich durch die Definition $\begin{eqnarray*} P(X_n = s|X_0 = x_0, X_1 = x_1, . . . , X_{n-1} = x_{n-1}) = P(X_n = s|X_{n-1} = x_{n-1}) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_1 = B) \end{eqnarray*}$ was nun wiederum $\begin{eqnarray*} P(X_2 = A | X_0 = B) \end{eqnarray*}$ entspricht und wie Teilaufgabe 2 gelöst wird oder mach ichs mir damit zu einfach? verwirrt

4. $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_6 = A) \end{eqnarray*}$

-> naja das einzige was mir da einfällt wäre $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_6 = A) = P(X_6 = A | X_3 = A) \end{eqnarray*}$ . Dies ist aber nur ne Vermutung, hab noch keine passende Formel gefunden..zumindestens keine die ich verstanden hätte Hammer

Ich hoffe ihr könnt mir meine Vermutungen bestätigen, auch wenn es durchaus sein kann, dass es reiner Blödsinn ist was ich mir da zusammengereimt habe Augenzwinkern

In diesem Fall dürft ihr alle gerne mal Forum Kloppe

Vielen Dank schonmal! smile

23.10.2009, 19:48

Abakus

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RE: Bedingte Wahrscheinlichkeit bei Markov-Ketten

Zitat:

Original von JohnnyBGood
4. $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_6 = A) \end{eqnarray*}$

-> naja das einzige was mir da einfällt wäre $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_6 = A) = P(X_6 = A | X_3 = A) \end{eqnarray*}$ . Dies ist aber nur ne Vermutung, hab noch keine passende Formel gefunden..zumindestens keine die ich verstanden hätte Hammer

Einfach mit der Definition: $\begin{eqnarray*} P(X_3 = A | X_6 = A) = \frac{P(X_3 = A \text{ und } X_6=A)}{P(X_6 = A)} \end{eqnarray*}$ ?

Grüße Abakus smile

edit: das Letztere kannst du dann (geeignet erweitern!) mit der anderen "umgedrehten" bedingten Wahrscheinlichkeit schreiben

24.10.2009, 13:44

JohnnyBGood

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Okay vielen Dank Abakus! smile

25.10.2009, 17:48

Abakus

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Im Prinzip ist es einfach der Satz bzw. die Regel von Bayes, die du zum Umstellen der bedingten Wahrscheinlichkeiten brauchst, ok Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

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