Beweis von einer Summe undeinem Binomialkoeffizient

23.10.2009, 19:55

Lika

Beweis von einer Summe undeinem Binomialkoeffizient

Ich habe es schon mit vollständiger Induktuin ausprobiert, bin aber immer wieder hängen geblieben. Außerdem habe ich es über die Fakultäten versucht, bin aber damit zu gar keiner Lösung gekommen.

23.10.2009, 19:57

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis von einer Summe undeinem Binomialkoeffizient
Hier ein allgemeiner Hinweis:
Generell bekommt man nur konstruktive Hilfe, wenn man eine Aufgabe vorgibt Augenzwinkern

23.10.2009, 19:58

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis von einer Summe undeinem Binomialkoeffizient
sch... da ist irgendwie was schief gelaufen. ich hatte sie so schön geschrieben. Moment ich versuchs gleich wieder

23.10.2009, 20:04

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nun die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~j\begin{pmatrix} n \\ j\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} n\cdot 2^{n-1} \end{eqnarray*}$

Noch mal viele Grüße

23.10.2009, 20:11

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir stimmen die rechte und linke seite bei der induktion nie überein.

Links steht bei mir immer:

$\begin{eqnarray*} 2n^{n-1}+1 \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot 2^{n} \end{eqnarray*}$

23.10.2009, 20:12

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib doch mal deinen Induktionsschritt hin, vlt sieht man ja was da oder ob da was schief gelaufen ist

24.10.2009, 13:58

Andi24

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich hänge an der selben aufgabe :-(

Hier mal wie weit ich beim Induktionsschritt gekommen bin:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n+1} j \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ j \end{pmatrix} = \sum_{j=1}^{n} j \cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ j \end{pmatrix} +n+1 \\ = \sum_{j=1}^{n} j \cdot ( \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ j-1 \end{pmatrix})+n+1 \\ =\sum_{j=1}^{n} j \cdot \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} + \sum_{j=1}^{n} j \cdot \begin{pmatrix} n \\ j-1 \end{pmatrix}+n+1 \\ = \sum_{j=1}^{n} j \cdot \begin{pmatrix} n \\ j-1 \end{pmatrix}+n\cdot 2^{n-1}+n+1 \end{eqnarray*}$

Hänge bei der letzten übrig geblieben Summe, wenn ich die mit Maple ausrechne ergibt sich das erwünschte Ergebnis, nur wie da von Hand dazu komme weiss ich nicht.

Gruß

24.10.2009, 17:27

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} j \cdot \begin{pmatrix} n \\ j-1 \end{pmatrix} = \sum_{j=0}^{n-1} (j+1) \cdot \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} = 1+\sum_{j=1}^{n-1} (j+1) \cdot \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vlt hilft dir das weiter, hoffe stimmt so, war mir bei der Indexverschiebung nicht so sicher.

Edit: Danke Duedi, war mir nicht sicher ob das n im Binomial nicht doch verkleinert wird.

24.10.2009, 17:30

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Indexwechsel ist korrekt und der Tipp gut smile

24.10.2009, 18:00

Andi24

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp!

Ich hatte es zwar auch mit Indexverschiebung probiert, nur hatte sich da nen Fehler eingeschlichen und dann hat das ganze keinen Sinn ergeben.

Ich werd mich gleich mal ransetzten ;-)

24.10.2009, 18:28

Andi24

Auf diesen Beitrag antworten »

Habs nun endlich fertig bekommen , nochmals danke für den Tipp Freude

25.10.2009, 12:53

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ich bins wieder. die induktion kann ich soweit nachvollziehen, nur weiß ich nicht, wie man von der letzten Summe, dann auf das Ergebnis kommt.
Ich muss dazu sgen,dass ich erst seit 2 Wochen Mathe studiere und dass ich vorher noch nie etwas von der Induktion gehört habe und deshalb momentan noch etwas überfordert bin.

Vllt kann mir ja jemand weiterhelfen

Lg

25.10.2009, 12:59

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Vlt hilft dir das weiter, hoffe stimmt so, war mir bei der Indexverschiebung nicht so sicher.

Edit: Danke Duedi, war mir nicht sicher ob das n im Binomial nicht doch verkleinert wird.

Ich finde es immer ganz hilfreich, den jeweils ersten und letzten Summanden zu vergleichen (einfach durch einsetzen/ausrechnen), um eine Indexverschiebung korrekt durchzuführen - vielleicht hilft dir das ja beim nächsten Mal.

25.10.2009, 13:50

Andi24

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lika
hallo,
ich bins wieder. die induktion kann ich soweit nachvollziehen, nur weiß ich nicht, wie man von der letzten Summe, dann auf das Ergebnis kommt.
Ich muss dazu sgen,dass ich erst seit 2 Wochen Mathe studiere und dass ich vorher noch nie etwas von der Induktion gehört habe und deshalb momentan noch etwas überfordert bin.

Vllt kann mir ja jemand weiterhelfen

Lg

Mit der letzten Summe meinst du wahrscheinlich die hier, oder?!

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n-1} (j+1) \cdot \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Den Ausdruck kann man doch in 2 Summen aufsplitten
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n-1} j \cdot \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}+ \sum_{j=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis der ersten Summe ist ja gerade die Induktionsvorraussetzung, nur dass dir hier der letzte Summand fehlt.

Und es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}=2^n-1 \end{eqnarray*}$ . Das muss noch über Induktion gezeigt werden, da es ja soweit ich weiss nicht in der Vorlesung vorgekommen ist.

Ich hoffe das hilft dir weiter und war nicht zu viel verraten. :-)

Gruß

25.10.2009, 14:01

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für diesen hinweis, nur ich kapier das mit dieser induktion und summenzeichen nicht wirklich, das ist, glaube ich mal, mein größtes problem!!

25.10.2009, 14:09

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Induktion basiert auf folgendem System:
Du beweist, dass es für eine Zahl gilt, z.b. 1. Und du zeigst, dass wenn es für gilt, es auch für ihren Nachfolger, n+1, gilt.
Damit zeigst du dass es für alle natürlichen Zahlen gilt. Da es für 1 gilt, muss es auch für 1+1 = 2 gelten. Da es für 2 gilt, muss es für 2+1= 3 gelten usw.

Hier haben wir es nicht für n = 1 bewiesen, da ich direkt zum Induktionsschritt gesprungen bin, was falsch war, denn ohne einen Start bringt selbst ein richtiger Induktionsschritt nichts.

Und als Beispiel für eine Summe:
$\begin{eqnarray*} \sum^{n-1}_{j=1} (j+1) \binom{n}{j} = ((1+1)\cdot \binom{n}{1}) + ((2+1)\cdot \binom{n}{2}) + ((3+1)\cdot \binom{n}{3}) + \dots + (((n-1)+1)\cdot \binom{n}{n-1} \end{eqnarray*}$

Du schreibst also das was da steht für j=1 hin, und addierst dann den gleichen Term für j=2 und so weiter, bis du bei n-1 angekommen bist.

25.10.2009, 14:17

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

muss, ich dann noch eine komplette induktion durchführen?

25.10.2009, 14:19

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

mal eine dumme frage:

ist die iv hier nicht
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n+~j\cdot \begin{pmatrix} n+1 \\ j \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich weiß nicht, wie man das schreibt, aber über das summenzeichen muss n+1 hin oder?

25.10.2009, 14:20

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Induktion ist ja schon voll im Gange, du musst nur noch zeigen dass n+1 aus n folgt und dazu müssen wir die Seite so umformen, dass dort das steht, was stehen müsste wenn man n+1 einsetzt.

Was ist bei dir denn IV? Und du musst noch die Summe auf n+1 erhöhen.

25.10.2009, 14:22

Lika

Auf diesen Beitrag antworten »

das ist schon klar. nur ich weiß nicht, wie man die so umformen soll. da ich die induktiom v.a. nihct mit dem Summenzeichen und Binomalkoeffizienten kann.

25.10.2009, 14:27

Andi24

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lika
muss, ich dann noch eine komplette induktion durchführen?

du musst halt noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{n} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}=2^n-1 \end{eqnarray*}$ gilt, da diese Formel ja in der Vorlesung nicht vorgekommen ist.

Der Beweis per Induktion ist aber schnell durchgeführt.

Und noch etwas, was jetzt nicht direkt mit der Induktion zu tun hat. Ich denke mal um für die Aufgabe 100% zu bekommen, musst du auch noch zeigen, dass für den Binomialkoeffizienten die Additivität gilt, also: ( wurde in der Vorlesung ja nicht besprochen)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ j+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ j+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das geht aber in relativ wenigen Schritten durch Umformungen.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis von einer Summe undeinem Binomialkoeffizient

Verwandte Themen