Wahrscheinlichkeit, dass ausgewählte farbenblinde Person Mann ist.

23.10.2009, 20:13

Saraaa

Wahrscheinlichkeit, dass ausgewählte farbenblinde Person Mann ist.

Hallo,
ich bin gerade bei einer Aufgabe und glaube fast fertig. Allerdings komme ich nicht auf den letzten Schritt.

Hier die Aufgabe:
In Buntdorf sind $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ aller Männer und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{200} \end{eqnarray*}$ aller Frauen farbenblind. Es leben genau so viele Männer wie Frauen in Buntdorf. Eine Person aus dem Dorf wird zufällig ausgewählt und man stellt fest, dass diese Person farbenblind ist. Erstelle eine Vierfeldertafel und ein geeignetes Baumdiagramm und ermittle daraus, mit welcher Wahrscheinlichkeit die gewählte Person ein Mann ist.

Hier meine Lösung bis jetzt:

[attach]11597[/attach]

Ich hoffe man kann es erkennen...

Jetzt ist die Wahrscheinlichkeit für einen blinden Mann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20} \end{eqnarray*}$ und für eine blinde Frau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{400} \end{eqnarray*}$ . Jetzt fehlt mir noch der letzte Schritt.
Wie komme ich darauf, mit welcher Wahrscheinlichkeit die gewählte Person ein Mann ist? Das muss doch irgendwie gehen, wenn ich die beiden Zahlen vergleiche. Ich komme aber einfach nicht drauf.

Wäre super, wenn jemand Rat weiß.

23.10.2009, 21:48

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeit, dass ausgewählte farbenblinde Person Mann ist.
Dein Anhang ist bei mir auf dem Bildschirm praktisch nicht erkennbar. Aber das macht nichts. Das ist eine Basisaufgabe für die bedingte Wahrscheinlichkeit.

Sei A das Ereignis Mann und B das Ereignis farbenblind. Dann ist gesucht

$\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ ,

also die Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung, dass B gegeben ist. Die Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$

Du brauchst also nur $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ mittels des Baumdiagramms oder der Vierfeldertafel zu berechnen.

24.10.2009, 21:18

Saraaa

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Also ich habe den Anhang jetzt hier nochmals deutlicher...

[attach]11612[/attach]

Ja, die Formel habe ich irgendwann schon einmal gesehen..

Aber wie berechne ich denn P(B)? Ich kann ja nicht angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Person farbenblind ist, wenn ich nicht weiß, ob sie ein Mann oder eine Frau ist. Und wenn ich nur P(B) betrachte, kann ich das ja nicht sagen, oder?

Wenn ich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ berechne, ist das dann der oberste Zweig in meinem Baumdiagramm? Das wäre ja die Aussage die Person ist ein Mann und blind.
Und dafür ist die Wahrscheinlichkeit 0.5*0,2=0,1

Darf ich das so rechnen? Weil wir bedingte Wahrscheinlichkeit haben, darf ich ja nicht schreiben $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)= P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$ Habe ich das hier berechnet, als ich den Ast berechnet habe?

25.10.2009, 09:53

Huggy

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Zitat:

Original von Saraaa
Aber wie berechne ich denn P(B)? Ich kann ja nicht angeben, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Person farbenblind ist, wenn ich nicht weiß, ob sie ein Mann oder eine Frau ist. Und wenn ich nur P(B) betrachte, kann ich das ja nicht sagen, oder?

P(B) ergibt sich einfach aus der Summenregel für einander auschließende Ereignisse. Eine farbenblinde Person ist entweder ein Mann oder eine Frau. Beides geht nicht. Daher ist:

$\begin{eqnarray*} P(B)=P(fb)=P(M \cap fb)+P(F\cap fb) \end{eqnarray*}$

Du musst also nur die Zeilensumme bei farbenblind in der Vierfeldertafel bilden oder die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Endknoten des Baumdiagramms addieren.

Zitat:

Wenn ich $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ berechne, ist das dann der oberste Zweig in meinem Baumdiagramm? Das wäre ja die Aussage die Person ist ein Mann und blind.

Ja.

Zitat:

Und dafür ist die Wahrscheinlichkeit 0.5*0,2=0,1

Genau umgekehrt: 0,5*0,1 = 0,05. Steht ja auch richtig in der Vierfeldertafel.

Zitat:

Darf ich das so rechnen? Weil wir bedingte Wahrscheinlichkeit haben, darf ich ja nicht schreiben $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)= P(A)*P(B) \end{eqnarray*}$ Habe ich das hier berechnet, als ich den Ast berechnet habe?

Ich glaube, hier hast du dich selbst verwirrt. Wenn in der Aufgabe steht, 1/10 aller Männer sind farbenblind, dann ist das ja schon die bedingte Wahrscheinlichkeit, nämlich die Wahrscheinlichkeit für farbenblind unter der Bedingung Mann. Also formal:

$\begin{eqnarray*} P(fb|M) \end{eqnarray*}$

Und wegen

$\begin{eqnarray*} P(fb|M)=\frac{P(fb\cap M)}{P(M)} \end{eqnarray*}$

hat man

$\begin{eqnarray*} P(fb\cap M)=P(fb|M)\cdot P(M) \end{eqnarray*}$

Nach dieser Regel werden die Zweigwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm multipliziert.

Wenn man sich in den Formeln verheddert hat, hilft oft das Denken in konkreten Fallzahlen. Es seien 400 Personen gegeben, je 200 Männer und Frauen. Dann hat man (im Mittel) 20 farbenblinde Männer (200/10) und 1 farbenblinde Frau (200/200), also insgesamt 21 farbenblinde Personen. Wenn eine davon zufällig ausgewählt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein Mann ist, offensichtlich 20/21.
Dieses Ergebnis muss sich auch formelmäßig ergeben. Und die Wahrscheinlichkeit für farbenblind muss sich zu 21/400 ergeben.

27.10.2009, 15:40

Saraaa

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Zitat:

Und dafür ist die Wahrscheinlichkeit 0.5*0,2=0,1

Genau umgekehrt: 0,5*0,1 = 0,05. Steht ja auch richtig in der Vierfeldertafel.

Ja, da hab ich mich vertippt.

So, ich habe jetzt nochmals versucht, das ganze zu berechnen.

Dein Beispiel mit den Zahlen habe ich auch verstanden. Das ist wirklich ein guter Trick. Allerdings hauts mit den Formeln noch nicht so richtig hin.

Ich habe meine Lösung einmal angehängt.

[attach]11662[/attach]
[attach]11663[/attach]

Also sind insgesamt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}+\frac{1}{400}=\frac{21}{400} \end{eqnarray*}$ aller Personen farbenblind.

Jetzt muss ich ja nur noch rausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Person die farbenblind ist, ein Mann ist...

Ich habe mir schon überlegt, die beiden irgendwie ins Verhältnis zu setzen:

also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{20}:\frac{1}{400} \end{eqnarray*}$ Aber da komme ich auf 2 und das kann nicht sein...

Wie komme ich denn hier weiter?

Zitat:

Wenn eine davon zufällig ausgewählt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein Mann ist, offensichtlich 20/21.
Dieses Ergebnis muss sich auch formelmäßig ergeben. Und die Wahrscheinlichkeit für farbenblind muss sich zu 21/400 ergeben.

Also das zweite Ergebnis habe ich auch. Aber wie komme ich formelmäßig auf das erste?

27.10.2009, 16:38

Huggy

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Zitat:

Jetzt muss ich ja nur noch rausfinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Person die farbenblind ist, ein Mann ist...

Dazu nimmst du die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit (hier Wahrscheinlichkeit für Mann unter der Bedingung farbenblind), die ich dir schon mal nannte:

$\begin{eqnarray*} P(M|fb)=\frac{P(M\cap fb)}{P(fb)}=\frac{1/20}{21/400}=\frac{20}{21} \end{eqnarray*}$

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