Stetige Gleichverteilung?

23.10.2009, 20:24

mariamd

Stetige Gleichverteilung?

Guten Abend,
habe hier eine Aufgabe wo ich mir nicht ganz sicher bin ob ich richtig gerechnet habe. Wäre nett wenn sich jemand das mal anschauen könnte und mir ein Feedback geben könnte.

In einem Home-Shopping-Sender laufen ohne Unterbrechung Produktpräsentationen von jeweils 30 Minuten Länge. Ein Zuschauer schaltet zu einem zufälligen Zeitpunkt X ein, der zwischen Beginn und Ende einer Präsentation gleichverteilt ist.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mehr als eine Präsentation sieht, wenn er nach 22,5 Minuten bzw. 35 Minuten wieder ausschaltet?

b) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der gesehenen Präsentationen, wenn die Einschaltdauer 22,5 Minuten beträgt.

a)
$\begin{eqnarray*} X-U(0,30) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq 22,5\leq 30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(X)= \frac{22,5}{30} = 0.75 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 35>30 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(X)= 1 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} X-U(0,22,5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X)= \frac{22,5}{2}= 11,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{22,5}{30}= 0,375 \end{eqnarray*}$

Ich "hoffe" a) ist soweit richtig, aber bei b) bin ich mir absolut nicht sicher. Da es um den Erwartungswet für die Anzahl der gesehenen Präsentationen habe ich das Ergebnis des Erwartungswertes einfach durch 30 (die Anzahl der Minuten pro Präsentation) geteilt. Ob das so einfach geht ist allerdings etwas anderes.

24.10.2009, 02:23

Zellerli

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Ich stelle mir hier gerade einen Zahlenstrahl oder ein Lineal vor mit gleichlangen Abschnitten (30min = 1 Präsentation) vor, diese sind ohne Unterbrechung zusammengefügt.

Jetzt habe ich noch einen Abschnitt der Länge 22,5min und einen der Länge 35min.
Das bestätigt schonmal deine Ergebnisse zu a)

Eine ganz grobe Überlegung ist mit deinem Ergebnis zu b) nicht vereinbar:

Das 22,5min Stück hat eine von 0 verschiedene Ausdehnung. Also erwischt man doch - egal wo man es platziert - mindestens eine Präsentation und niemals mehr als zwei. Wie kommst du dann auf eine mittlere Anzahl an Präsentationen, die nicht zwischen 1 und 2 liegt?

25.10.2009, 00:20

mariamd

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Stimmt schon... Mein Problem ist, dass ich nicht weiss, wie ich das alles in der Formel für den Erwartungswert unterbringen soll. Die Formel ist ja normal:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

Habe mir im Nachhinein überlegt, dass ich das Intervall bei 0, 30 belasse. Da würde ich dann auf 15 kommen. Danach dividiere ich die von b) angegebenen 22,5 mit dem Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} \frac{22,5}{15} = 1,5 \end{eqnarray*}$

Da bin ich mir aber jetzt auch nicht sicher. Würde ich die Formel für den Erwartungswert einfach nicht in Betracht ziehen sehe meine Rechnung schlichtweg so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{30}{22,5} = 1,33 \end{eqnarray*}$

Oder geh ich das Ganze vollkommen falsch an?

25.10.2009, 02:03

Zellerli

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Zitat:

Die Formel ist ja normal:
$\begin{eqnarray*} E(X)=\frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$

Das sieht aber nach einem Ultra-Spezialfall aus...
Gegenbeispiel: 10% der Affen haben 10 Läuse und 90% haben 20 Läuse. Erwartungswert = mittlere Anzahl an Läusen. Und schon geht das durch 2 Teilen nicht mehr.

Weißt du was eine diskrete Zufallsgröße ist und wie man allgemein deren Erwartungswert berechnet (orientiere dich ruhig oben am Beispiel mit den Affen).
Da hat man meistens eine Tabelle.
Zeile1: Die Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann. Z.B. $\begin{eqnarray*} X=x_1 \end{eqnarray*}$
Zeile2: Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten (z.B. $\begin{eqnarray*} P(X=x_1) \end{eqnarray*}$ ), dass der Wert (hier $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ) angenommen wird.

Die Aufgabe hat zwar nicht besonders viele Werte, aber so eine Tabelle würde schonmal einen guten Überblick verschaffen.

27.10.2009, 20:21

mariamd

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Diskrete Zufallsgröße heißt doch, dass der Wertebereich endlich viele Werte hat. Der Würfel kann z.B. nur die Werte 1-6 annehmen. Bei der Aufgabe wären das dann wohl 1 und 2, weil viel mehr Präsentationen nicht innerhalb von 22,5 Minuten vorkommen können.

Bei der stetigen Gleichverteilung hat man doch im Normalfall aber stetige Zufallsgrößen. Heißt das, dass ich hier eine andere Methode zur Berechnung des Erwartungswertes benutzen muss?

Du sagst, dass ich eine Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten aufstellen soll (in diesem Fall wohl für die Werte 1 und 2), aber mir ist nicht klar nach welcher Formel ich die Wahrscheinlichkeiten berechnen soll. Außerdem versteh ich den Sinn dahinter noch nicht.

28.10.2009, 13:12

Zellerli

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Richtig, eine diskrete Zufallsvariable hat diskrete, also unterscheidbare und abzählbare Werte.

Der Sinn dahinter ist, dass für den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \left< X \right> \end{eqnarray*}$ der diskreten Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit den $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ disrekten Werten $\begin{eqnarray*} x_i,i \in \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ und den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p(X=x_i) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left<X\right>=\sum^{n}_{i=1} ~ x_i \cdot p(X=x_i) \end{eqnarray*}$

(Siehe übrigens auch Wikipedia)

Du hast richtig erkannt, dass es nur zwei mögliche Werte sind.
Jetzt brauchst du nur noch ihre Wahrscheinlichkeiten.

Da würde ich das Model mit den Abschnitten und dem "Einschaltpunkt" zu Beginn jedes Abschnitts nehmen. Wo muss dieser landen, damit es 1 oder 2 Präsentationen werden und mit welcher Wahrscheinlichkeit tut er das?

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