Sitzplatzverteilung am runden Tisch

23.10.2009, 20:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Sitzplatzverteilung am runden Tisch Hallo, könnte kurz jemand über meine Argumentation schauen? Gegeben sind n Leute, zwei spezielle davon nennen wir Person A und Person B, die sich an einen runden Tisch setzen. Gefragt ist nun die Wahrscheinlichkeit dass zwischen A und B genau k versch. Leute sitzen. Den Wahrscheinlichkeitsraum habe ich als $\begin{eqnarray} \Omega = \{\pi \in S_n \mid \pi \text{ ist ein n-Zykel}\} \end{eqnarray}$ . Fixiert man im n-Zykel die erste Position so sieht man $\begin{eqnarray} \|\Omega\|=(n-1)! \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} X_k = \left\{\pi \in \Omega \mid k = \min\{i\geq 0 \mid \pi^{i+1}(A) = B\} \lor k =\min\{i\geq 0 \mid \pi^{-i-1}(A) = B\}\right\} \end{eqnarray}$ Also in Worten all jene Permutationen so dass zwischen A und B in der Zykelschreibweise i verschiedene Leute sitzen. Nun ist für $\begin{eqnarray} k < n-1 \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \|X_k\| = 2(n-2)! \end{eqnarray}$ da man o.B.d.A. A bzw. B an erster Stelle des Zykels fixieren kann, dann B bzw. A wählt und der Rest frei permutiert werden kann. Die einzige Ausnahme ist im Fall $\begin{eqnarray} n\in 2\mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k = \frac n 2 - 1 \end{eqnarray}$ . In diesem Fall ist es gleichwertig nach links bzw. rechts zu schauen ob zwischen A und B k Leute sitzen und damit gilt in diesem Fall $\begin{eqnarray} \|X_k\| = (n-2)! \end{eqnarray}$ . Insgesamt also: $\begin{eqnarray} P(X_k) = \begin{cases} \frac{2}{n-1} & k<n-1 \land (n\in 2(1+\mathbb N) \lor k\neq \frac n 2 -1)\\ \frac{1}{n-1} & n\in 2\mathbb N \land k=\frac n 2 -1\\0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray}$ Grüße
24.10.2009, 10:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sitzplatzverteilung am runden Tisch Keine Ahnung, ob ihr das so herleiten sollt. Mir erscheint die Argumentation unnötig kompliziert. Wenn man die Position von A fixiert, bleiben für B noch n - 1 Positionen, die alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Nimmt man als Abstand zwischen A und B den kürzesten Abstand, so gibt es zu jedem Abstand k genau 2 passende Positionen von B. Ausnahme ist bei geradem n der Abstand k = n/2 - 1, für den es nur eine passende Position von B gibt. Daraus folgt unmittelbar dein Endergebnis.
24.10.2009, 10:58	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja im Prinzip war das auch mein Gedankengang Da das jedoch die erste WT1 Übung wird und ich noch nicht weiß wie formal das ganze abgegeben werden sollte wollte ich noch den Wahrscheinlichkeitsraum und den Ereignisraum explizit angeben. Fällt dir da eine einfachere Möglichkeit ein?
24.10.2009, 11:15	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezüglich der formalen Anforderungen, die heutzutage bei solchen Übungsaufgaben üblich sind, kann ich dir keinen Rat geben. Da fehlt mir die Erfahrung. Aber was spricht denn dagegen, als Ereignismenge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ die möglichen Positionen von B zu nehmen?
24.10.2009, 11:21	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum einfach wenn es auch kompliziert geht? Vielen Dank für deine Hilfe.

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