Zyklus

24.10.2009, 08:32

Der Lustige Peter

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Zyklus

Hallo zusammen
mich hat die Algebravorlesung grade geistig abgehängt. Ich würde hier gerne eine Aufgabe stellen und dann entlang dieser Aufgabe verstehen, was in der Vorlesung gerade eigentlich passiert. Ok?

Also hier die Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} \xi \in S_n \end{eqnarray*}$ ein Zykel der Länge n. Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} \pi \in S_n \end{eqnarray*}$ , die mit $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ vertauschbar sind

Erste Frage:
Ein Zyklus ist ein Abfolge von Vertauschungen, oder? Aber was wird vertauscht? Ist das egal?
$\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist die Menge, in der etwas vertauscht wird, oder die Menge der Vertauschungen?

Danke für jede Antwort!

24.10.2009, 13:26

kiste

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Hallo,

die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Permutationen, d.h. bijektiven Abbildungen, auf der Menge {1,...,n} auf sich selbst.

Ein Zyklus $\begin{eqnarray*} (a_1 a_2 \ldots a_k) \end{eqnarray*}$ ist eine spezielle Permutation und zwar jene die $\begin{eqnarray*} a_i \mapsto a_{i+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i < k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_k \mapsto a_1 \end{eqnarray*}$ schickt, und ansonsten die Zahlen gleichlässt.

Ein n-Zykel ist jetzt einfach ein Zyklus der Länge n.

Was du jetzt bestimmen musst, sind alle Abbildungen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \pi\circ \xi = \xi \circ \pi \end{eqnarray*}$

24.10.2009, 14:44

Der Lustige Peter

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Hallo kiste, vielen Dank schon mal für deine Antwort.

Zitat:

Original von kiste
die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Permutationen, d.h. bijektiven Abbildungen, auf der Menge {1,...,n} auf sich selbst.

Ok, soweit, so gut. Weiter im Text.

Zitat:

Original von kiste
Ein Zyklus $\begin{eqnarray*} (a_1 a_2 \ldots a_k) \end{eqnarray*}$ ist eine spezielle Permutation und zwar jene die $\begin{eqnarray*} a_i \mapsto a_{i+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i < k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_k \mapsto a_1 \end{eqnarray*}$ schickt, und ansonsten die Zahlen gleichlässt.

was sind dabei die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ? Sind das Teile der Menge {1,...,n}? Oder sind das Permutationen?

Zitat:

Original von kiste
Ein n-Zykel ist jetzt einfach ein Zyklus der Länge n.
Was du jetzt bestimmen musst, sind alle Abbildungen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \pi\circ \xi = \xi \circ \pi \end{eqnarray*}$

Bis ich dahin komme, brauch ich noch ein kleines Weilchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Peter

24.10.2009, 16:51

kiste

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Die a_i sind die Zahlen aus 1..n
Beispiel:
Wir betrachten in der S_4 den Zyklus (143)
Das ist jene Abbildung f mit f(1) = 4, f(2) = 2, f(3) = 1, f(4) = 3

26.10.2009, 20:53

Der Lustige Peter

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Versuch einer Lösung
Hmmm,

ich habe im Skript da so einen Satz gefunden...
Wenn ich den Anwende bringt der mich weiter?

Also:
$\begin{eqnarray*} \pi \circ \xi = \xi \circ \pi \Rightarrow \pi = \xi \circ \pi \circ \xi^{-1} \end{eqnarray*}$
Und jetzt der Satz (sagt $\begin{eqnarray*} \xi \circ \pi \circ \xi^{-1} = (\xi (\pi_1),...,\xi (\pi_n)) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \pi = (\xi(p_1),...,\xi(p_n)) \end{eqnarray*}$

Ist damit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ausreichend definiert?

26.10.2009, 21:00

kiste

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Ja der Satz ist durchaus ein toller Anfang.
Jetzt muss $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ also eine Permutation sein die die Reihenfolge der a_i nur verschiebt.
Also beispielsweise der Zykel (1 3 2) auf (2 1 3), also 1 -> 2, 3 -> 1, 2-> 3
Wie viele solcher Verschiebungen kann es denn geben?

Wenn du das hast kannst du einmal spezielle $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ wählen, was kommutiert den in jeder Gruppe immer mit dem Element $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ?

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26.10.2009, 21:41

Der Lustige Peter

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Zitat:

Original von kiste
Wie viele solcher Verschiebungen kann es denn geben?

$\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ Abbildungen oder?

Das wären dann $\begin{eqnarray*} (1, ... ,n), (n, 1, ... , n-1), ... , (2, ... , n-1, 1), id \end{eqnarray*}$
Oder zählt das nicht. E igentlich gilt ja: $\begin{eqnarray*} (1, ... ,n) = (n, 1, ... , n-1)= ... = (2, ... , n-1, 1) \end{eqnarray*}$ . Dann wären es nur $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ Abbildungen.

26.10.2009, 21:45

kiste

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Ich zähle n Stück.
Betrachte dazu mal nur eine Zahl die weitergeschoben wird. Die anderen müssen dann ja, da es eine Verschiebung ist, um die gleiche Anzahl verschoben werden.

Wenn wir das haben geht es darum jetzt alle zu finden, dazu betrachte meine Frage von vorhin:
Welche Elemente in einer Gruppe kommutieren immer mit einem Element g?

26.10.2009, 22:48

Faculty

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Zitat:

Original von kiste
Welche Elemente in einer Gruppe kommutieren immer mit einem Element g?

Das neutrale Element und $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2009, 22:53

kiste

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Ja, aber
a) gibt es noch mehr die immer kommutieren
und
b) sollte das doch Der Lustige Peter rausfinden Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.10.2009, 22:58

Faculty

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Oh, tut mir leid, dachte ich antworte mal, da Der Lustige Peter seit ner Stunde offline ist und ich an der gleichen Aufgabe hänge.

Hättest du denn auch Lust mir weiterzuhelfen oder hilfst du nur dem lustigen Peter? smile

smile

26.10.2009, 22:59

kiste

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Klar, werd dir auch helfen.
Wie gesagt, es gibt noch mehr die immer kommutieren, versuche die einmal zu finden.

26.10.2009, 23:10

Faculty

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Danke!
Was ich vergessen habe war $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ selbst, aber mehr als die drei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ fallen mir nicht ein.

26.10.2009, 23:15

kiste

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Wir sind schon weiter smile

smile

Was ist denn mit g^2?

26.10.2009, 23:17

Faculty

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smile

Ok, gut, hatte das eigentlich auch mit gemeint, also $\begin{eqnarray*} g^z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2009, 23:24

kiste

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Meinen und schreiben ist etwas anderes. Schön stimmt.
Okay jetzt betrachten wir das ganze im Fall unseres n-Zykels $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Wieviele Elemente können wir auf diese Art konstruieren die immer mit $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ kommutieren? Oder anders ausgedrückt: Was ist die Ordnung von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ `?

26.10.2009, 23:30

Faculty

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Da $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ein n-Zykel ist, hat $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ die Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Die konstruierten Elemente wären dann $\begin{eqnarray*} \pi, \pi^2, \ldots, \pi^{n-1}, id \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} \pi^n = id \end{eqnarray*}$ ), oder?

26.10.2009, 23:33

kiste

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Yeepie.

Okay und zuvor im Thema haben wir mit der Darstellung $\begin{eqnarray*} \pi = \xi \pi \xi^{-1} \end{eqnarray*}$ hergeleitet dass es nur n verschiedene kommutierenden Elemente geben kann, aber hey wir haben grad n Stück gefunden Big Laugh

Big Laugh

26.10.2009, 23:41

Faculty

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Also wär die Lösung der Aufgabe, dass $\begin{eqnarray*} \pi \in \{\xi, \xi^2, \ldots, \xi^{n}\} \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2009, 23:46

kiste

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Oops merke gerade ich hab die Bezeichner vertauscht mittendrin Big Laugh

Big Laugh

Aber ja, genau die von dir angegebene Menge ist jene Menge aller mit $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ kommutierenden Elemente smile

smile

26.10.2009, 23:56

Faculty

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Okay, vielen Dank.

Schaut im Nachhinein einfacher aus, als es mir vorgekommen ist. smile

smile

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