modulo, Addition und Multiplikation

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24.10.2009, 13:28	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
modulo, Addition und Multiplikation Hallo, ich habe hier eine LA I Aufgabe, bei der ich die Aufgabenstellung nicht ganz verstehe. Es wäre nett, wenn mir jemand nen Tipp geben könnte, was ich da genau machen soll. Und zwar: ich soll doch eine Addition und eine Multiplikation definieren, welche die angegebenen Bedingungen erfüllt, oder? Oder soll das, was da steht, schon die Definition sein? Ist das erste "+" bei x+y das gewöhnliche "+" aus den ganzen Zahlen? Und das zweite ist dann die zu definierende Addition? Oder verstehe ich das falsch? Ich würde mich freuen, wenn mir jemand nen kleinen Denkanstoß geben könnte, was ich genau machen soll in der Aufgabe. Ich denke, wenn ich die Aufgabenstellung verstehe, sollte ich die Lösung gut hinbekommen. Danke schonmal
24.10.2009, 13:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst Addition und Multiplikation auf $\begin{eqnarray} T_n=\lbrace 0,1,...,n-1\rbrace\ \end{eqnarray}$ so definieren, dass die beiden Regeln für $\begin{eqnarray} \pi :\mathbb Z \to T_n \end{eqnarray}$ erfüllt sind..
24.10.2009, 19:54	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke
25.10.2009, 10:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem, das stand ja in der Aufgabe. Hast du's geschafft ?
25.10.2009, 16:05	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht so richtig, die Aufgabe verwirrt mich irgendwie. Also wie wäre es z.B. damit: $\begin{eqnarray} a \oplus b := \pi(a+b) \end{eqnarray}$ Dann gilt ja z.B. folgendes: Sei: $\begin{eqnarray} <br /> \pi(x) = r_{x}<br /> \pi(y) = r_{y}<br /> \end{eqnarray}$ Es gibt also $\begin{eqnarray} p, q \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_{x}, r_{y} \in T_{n} \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} x = p \cdot n + r_{x}<br /> y = q \cdot n + r_{y}<br /> <br /> \pi(x) \oplus \pi(y) = \pi(\pi(x)+\pi(y)) = \pi(r_{x} + r_{y}) = \pi(p \cdot n + r_{x} + q \cdot n + r_{y}) = \pi(x + y) \end{eqnarray}$ Oder habe ich die Aufgabe immer noch nicht verstanden?
25.10.2009, 18:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie du selbst merkst, hast du noch nicht verstanden, worum es eigentlich geht, deswegen kommst du von a und b auf p und q und x und y und r_x und r_y, deine Gedanken drehen sich im Kreis und du kommst nicht ans Ziel. Der Anfang ist gar nicht schlecht, aber du mußt dir überlegen, was du mit $\begin{eqnarray} a \oplus b:=\pi (a+b) \end{eqnarray}$ meinst. Zu welcher Menge gehört das ? Warum ist das so ? Stimmt das wirklich ? Kann man das so definieren, und wenn ja, WARUM ?
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25.10.2009, 18:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Übrigens bin ich der Meinung, dass dieser Anfang gar nicht schlecht, aber leider völlig falsch ist. Sehr viel besser wäre die folgende Definition $\begin{eqnarray} \pi(a)\oplus\pi(b):=\pi(a+b) \end{eqnarray}$
25.10.2009, 21:47	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
mhhh, also ich meine mit der Definition halt: $\begin{eqnarray} \oplus: T_{n} \to T_{n}, a \oplus b = \pi(a + b) \end{eqnarray}$ Eine Verknüpfung, welche je zwei Elementen aus Tn ein jeweils neues Element in Tn zuordnet. Alle Elemente aus Tn lassen sich ja wiederum als $\begin{eqnarray} \pi(...) \end{eqnarray}$ darstellen. Dann habe ich ja oben gezeigt, dass aus: $\begin{eqnarray} a \oplus b = \pi(a + b) \end{eqnarray}$ das hier folgt: $\begin{eqnarray} \pi(a)\oplus\pi(b) =\pi(a+b) \end{eqnarray}$ Deswegen ist meine Definition doch im Grunde analog zu Deiner, oder nicht? Inwiefern ist meine "völlig falsch"? Also laut Beutelspacher - Lineare Algebra (S. 34) definiert man die Addition auf Zn (bzw. bei mir heißt's ja Tn) wie folgt: $\begin{eqnarray} a +_{n} b := (a + b) \mod n \end{eqnarray}$ Und das ist doch dasselbe wie ich oben definiert habe, oder nicht? weil (a+b) mod n ist ja bei mir einfach $\begin{eqnarray} \pi(a+b) \end{eqnarray}$
26.10.2009, 16:57	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh, hat vielleicht noch jemand nen Ratschlag für mich?
26.10.2009, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir uns darauf einigen könnten, dass $\begin{eqnarray} a,b,a+b\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi (a),\pi (b),\pi(a+b) \in \mathbb T_n \end{eqnarray}$ sind, ist klar, dass $\begin{eqnarray} a\oplus b:=\pi(a+b) \end{eqnarray}$ keine Operation auf $\begin{eqnarray} \mathbb T_n \end{eqnarray}$ sein kann, weil die Operanden ganze Zahlen sind. $\begin{eqnarray} \pi (a)\oplus \pi(b):=\pi(a+b) \end{eqnarray}$ kann eine Definition werden. Wenn das eine Definition wäre, würde sie sofort die gewünschte Bedingung erfüllen. Unklar ist bei dieser Aufgabe nur der Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb T_n \end{eqnarray}$ , mit anderen Worten, wir müssen zeigen, dass diese Operation "wohldefiniert" ist. Was meine ich damit ? Die Definition erfolgt mittels ganzer Zahlen $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ , soll aber eine Operation auf Restklassen $\begin{eqnarray} \pi(a),\pi(b)\in\mathbb T_n \end{eqnarray}$ definieren. Dazu ist notwendig und hinreichend zu zeigen, dass die Operation nur formal aber nicht wirklich von den "Vertretern" $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ der "Restklassen" $\begin{eqnarray} \pi(a),\pi(b) \end{eqnarray}$ abhängt. Habe ich mich jetzt klar genug ausgedrückt ? Das gleiche Prinzip gilt für die Multiplikation.
26.10.2009, 18:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Addition mod n und Multiplikation mod n bei Beutelspacher sind Operationen auf ganzen Zahlen. Wenn man beweist, dass diese Operationen nur von den Restklassen mod n und nicht von ihren Vertretern - den ganzen Zahlen - abhängen, kann man den Restklassenring definieren. Das ist also dasselbe Prinzip, aber der umgekehrte Weg als in deiner Aufgabe hier.
27.10.2009, 18:36	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo danke. Jetzt weiß ich, was du meinst. Aber ich hatte nicht geschrieben, dass a und b ganze Zahlen sein sollen. In meiner Definition der Addition sollten a und b einfach Elemente aus Tn sein, so dass jedes a auch als $\begin{eqnarray} \pi(...) \end{eqnarray}$ darstellbar ist. Ich muss mir morgen nochmal abschließend über die Aufgabe Gedanken machen, jetzt gerade habe ich wenig Zeit. Aber danke auf jeden Fall.
27.10.2009, 20:15	Marianne84	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis einer Äquivalenzrelation Hallo Leute, ich hoffe mir kann einer bei einem Beweis helfen. Ich soll nachweisen ob es sich hier um eine Äquivalenzklasse handelt und dann sollen die Äquivalenzklassen beschrieben werden: R1 Teilmenge von R x R; xR1y: <=> \|x\| = \|y\| Vielen Dank im vorraus. Liebe Grüße Marianne
27.10.2009, 20:16	Marianne84	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, wollte eigentlich ein neues Thema eröffnen^^
28.10.2009, 18:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst "Äquivalenzrelation" nachweisen, nicht "Äquivalenzklasse". Meinst du mit R die Menge der rellen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ? Der Nachweis ist "geschenkt", einfach die Definition einer Äquvalenzrelation anwenden ( (r), (s), (t) ). Die Äquvalenzklassen sind "Zahlen mit gleichem Betrag", also {{0}, {r,-r}}.

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