(n/3)^ n <n!<(n/2)^ n |
24.10.2009, 15:45 | Magdalena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(n/3)^ n <n!<(n/2)^ n Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Für welche n Element von N gilt: (n/3)^ n <n!< (n/2)^ n??? Stehe etwas auf dem Schlauch. Vermutlich ist die Aufgabe total einfach Es wäre toll. wenn mir jemand hilft zumindest einen Ansatz zu finden. Danke schon mal! LG |
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24.10.2009, 15:53 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Probiere es mit den ersten natürlichen Zahlen aus, um eine Vermutung aufzustellen. Danach: Beweis mit vollständiger Indutkion. |
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24.10.2009, 16:00 | guest09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: (n/3)^ n <n!<(n/2)^ n
Induktion? Die linke Ungl. gilt nach Indunktion sicher für Allerdings gilt sie auch für n=1,....9 Also müssen wir uns die rechte Ungl. ansehen... Vermutung: Die Ungl. gilt für (bei n=6 ist die Ungl erstmals gültig) der Rest ist wieder Induktion |
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24.10.2009, 16:24 | Magdalena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das hab ich auch raus. die Ungl. stimmt ab n=6. Kann ich jetzt einfach n+1 in die Ungl. einsetzten? oder muss ich das n>6 irgendwie anders noch einbinden? Ich weiß zwar wie die Induktion grundsätzlich funktioniert aber in dem Fall..... |
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24.10.2009, 18:16 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann sage doch mal, was im Induktionsschritt zu tun ist. |
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24.10.2009, 18:26 | Magdalena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab ja rausgefunden, dass die Ungl. für n=6 gilt. im nächsten Schritt müsste ich also zeigen, dass sie auch für n+1 gültig ist. meine idee wäre: ((n/3)^n)*(n/3)<n!(n+1)<((n/2)^n)*(n/2) aber irgendwie erscheit mit das nicht richtig! |
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24.10.2009, 18:32 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sieht doch ziemlich willenlos aus. Am besten spalten wir die Ungleichungskette in 2 Ungleichungen auf und betrachten zunächst: Dann ist dieses im Induktionsschritt die Voraussetzung und zu zeigen ist die Ungleichung, die du erhältst, indem du da jedes n durch (n+1) ersetztst. |
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24.10.2009, 18:46 | Magdalena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber dann kann ich doch schreiben: ((n+1)/3)^(n+1)<(n+1) =( ((n+1)/3)^n)((n+1)/3)<n!(n+1) oder? Hilft mir das weiter? |
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24.10.2009, 20:05 | MLRS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja Jetzt kannst du das n! auf der rechten Seite mit der Induktionsvoraussetzung ersetzen. Bitte versuch den Formeleditor zu verwenden EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit) |
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24.10.2009, 20:26 | Magdalena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich muss ehrlich sagen, dass ich gerade nicht verstanden habe, was ich machen soll. die induktionsvoraussetzung ist doch (n/3)^n<n! oder? wie kann ich das für n! einsetzten??? |
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24.10.2009, 20:44 | MLRS | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du verschärfst die Ungleichung oben indem du für n! etwas kleineres, nämlich (n/3)^n einsetzt. Das ist bei fast allen Ungleichungen, die man mit Induktion beweisen will, so. EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit) |
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25.10.2009, 12:06 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dabei muß man aber die Richtung der Implikation sorgsam beachten. Besser ist, man nimmt die Induktionsvoraussetzung und folgert die zu zeigende Aussage. Also etwa so: <==> Jetzt nutzt man, daß monoton steigend gegen e konvergiert, also <= 3 ist. Dann noch eine kleine Umformung und man ist am Ziel. |
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25.10.2009, 21:06 | Magdalena | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das macht Sinn, jetzt wo ich das sehe Danke für die nette hilfe |
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26.10.2009, 09:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte sehr. Bleibt noch der 2. Teil der Ungleichung: |
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08.11.2011, 22:27 | guest2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2.teil Beim 2.Teil wäre der Anfang dann: Und wie gehts weiter? vllt. mit: |
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09.11.2011, 08:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: 2.teil Nun ja. Wirklich viel hilft das nicht. So geht es: Jetzt ausnutzen, daß ist, und man ist am Ziel. |
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