(n/3)^ n <n!<(n/2)^ n

Neue Frage »

Magdalena Auf diesen Beitrag antworten »
(n/3)^ n <n!<(n/2)^ n
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Für welche n Element von N gilt: (n/3)^ n <n!< (n/2)^ n???

Stehe etwas auf dem Schlauch. Vermutlich ist die Aufgabe total einfach Hammer

Es wäre toll. wenn mir jemand hilft zumindest einen Ansatz zu finden.

Danke schon mal!
LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Probiere es mit den ersten natürlichen Zahlen aus, um eine Vermutung aufzustellen. Danach: Beweis mit vollständiger Indutkion.
guest09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (n/3)^ n <n!<(n/2)^ n
Zitat:
Original von Magdalena
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Für welche n Element von N gilt: (n/3)^ n <n!< (n/2)^ n???

Stehe etwas auf dem Schlauch. Vermutlich ist die Aufgabe total einfach Hammer

Es wäre toll. wenn mir jemand hilft zumindest einen Ansatz zu finden.


Induktion?
Die linke Ungl. gilt nach Indunktion sicher für
Allerdings gilt sie auch für n=1,....9

Also müssen wir uns die rechte Ungl. ansehen...
Vermutung: Die Ungl. gilt für (bei n=6 ist die Ungl erstmals gültig)

der Rest ist wieder Induktion
Magdalena Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich auch raus. die Ungl. stimmt ab n=6.
Kann ich jetzt einfach n+1 in die Ungl. einsetzten?
oder muss ich das n>6 irgendwie anders noch einbinden?
Ich weiß zwar wie die Induktion grundsätzlich funktioniert aber in dem Fall.....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Magdalena
Ich weiß zwar wie die Induktion grundsätzlich

Dann sage doch mal, was im Induktionsschritt zu tun ist.
Magdalena Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab ja rausgefunden, dass die Ungl. für n=6 gilt. im nächsten Schritt müsste ich also zeigen, dass sie auch für n+1 gültig ist. meine idee wäre:


((n/3)^n)*(n/3)<n!(n+1)<((n/2)^n)*(n/2)


aber irgendwie erscheit mit das nicht richtig!
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht doch ziemlich willenlos aus. Am besten spalten wir die Ungleichungskette in 2 Ungleichungen auf und betrachten zunächst:



Dann ist dieses im Induktionsschritt die Voraussetzung und zu zeigen ist die Ungleichung, die du erhältst, indem du da jedes n durch (n+1) ersetztst.
Magdalena Auf diesen Beitrag antworten »

aber dann kann ich doch schreiben:

((n+1)/3)^(n+1)<(n+1) =( ((n+1)/3)^n)((n+1)/3)<n!(n+1)


oder? Hilft mir das weiter?
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »

Ja

Jetzt kannst du das n! auf der rechten Seite mit der Induktionsvoraussetzung ersetzen.





Bitte versuch den Formeleditor zu verwenden

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
Magdalena Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss ehrlich sagen, dass ich gerade nicht verstanden habe, was ich machen soll. die induktionsvoraussetzung ist doch

(n/3)^n<n!


oder?

wie kann ich das für n! einsetzten??? unglücklich
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »

du verschärfst die Ungleichung oben indem du für n! etwas kleineres, nämlich (n/3)^n einsetzt.

Das ist bei fast allen Ungleichungen, die man mit Induktion beweisen will, so.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MLRS
du verschärfst die Ungleichung oben indem du für n! etwas kleineres, nämlich (n/3)^n einsetzt.

Dabei muß man aber die Richtung der Implikation sorgsam beachten. Besser ist, man nimmt die Induktionsvoraussetzung und folgert die zu zeigende Aussage. Also etwa so:



<==>



Jetzt nutzt man, daß monoton steigend gegen e konvergiert, also <= 3 ist. Dann noch eine kleine Umformung und man ist am Ziel. smile
Magdalena Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das macht Sinn, jetzt wo ich das sehe Hammer
Danke für die nette hilfe Gott
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte sehr. Bleibt noch der 2. Teil der Ungleichung:

guest2011 Auf diesen Beitrag antworten »
2.teil
Beim 2.Teil wäre der Anfang dann:





Und wie gehts weiter?
vllt. mit:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2.teil
Nun ja. Wirklich viel hilft das nicht. So geht es:



Jetzt ausnutzen, daß ist, und man ist am Ziel. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen