normierter Vektorraum

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D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »
normierter Vektorraum
Guten Tag!

Ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe: Anzugeben sind zwei Vektoren x, y in K^n , so dass gilt:

und

Ich habe mir überlegt: Könnte man nicht einfach für x ein Vektor mit Betrag 1 (das heisst konkret also z.B. : x = (1, 0, 0, .... , 0) ) und für y z.B. y = (2, 3, 0, 0, ..., 0) nehmen?

..oder was muss man sich bei dieser Aufgabe genau überlegen? (bzw. wie vorgehen?)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösung ist falsch, dann wäre ja .


Für ist die Angabe solcher x,y unmöglich, deswegen überlegen wir uns zunächst eine Lösung für n=2.

Hat man solch eine Lösung gefunden kann man sie für übertragen, indem man einfach nimmt.
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir dann eben auch aufgefallen, dass ||y||oo > ||x||oo

..aber auf die Idee, n erst ab 2 zu betrachten, bin ich nicht gekommen :P

..also d.h., man könnte für x = (1, 2) und y = (2, 1) nehmen? (zum Beispiel?)

nur n grösser als 2 wäre es dann eben wie du gesagt hast: (1,2,0,0....0) , (2,1,0,0,...0)
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Beides sind Normen und für Normen gilt [nach Definition], dass die Norm vom Nullvektor ... ist und umgekehrt, falls die Norm ..., dann war es der Nullvektor.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo: Ich hoffe dir macht die Einmischung nichts aus, habe nur eine kleine Idee beizutragen smile
Eine Überlegung kann vielleicht noch helfen: Schau dir die Einheits-"Kreise" der beiden Normen an.
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

@ sytem-agent: ..das heisst, es ist falsch, oder?

@ Duedi: hmm..die Einheitskreise sind gleich..


Ganz allgemein: ich muss nicht eine Norm, sondern zwei Vektoren x und y (in K^n) finden, so dass gilt:

und


Ich hätte dann noch eine Frage: Wäre dieses Ergebnis ein Widerspruch dazu, dass die Normen und äquivalent sind?
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von D@Npower
@ sytem-agent: ..das heisst, es ist falsch, oder?


Das habe ich nie gesagt, es sollte ein Hinweis zur Lösung sein Augenzwinkern .
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde mal etwas genauer:
Der Einheitskreis der -Norm ist folgendes:
Und dasselbe für die -Norm:
Und jetzt überlege dir, wie diese beiden Mengen exemplarisch im aussehen.
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein Viereck
und
ist ein Kreis.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Und jetzt kannst du dir überlegen, wann zwei Vektoren unterschiedlich lang sind, je nach der zugrundeliegenden Norm (skaliere einen von den Einheitskreisen und lass sie sich schneiden).
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich sind doch nur L_oo (Viereck), L_1 (Quadrat mit Ecken auf Achsen) und L_2 (Kreis) "wesentlich" und "wichtig".

Ich verstehe nicht ganz, worauf du hinaus willst..
Meine Vermutung wäre, dass die Vektoren dann unterschiedlich lang sind, wenn die Normen einen unterschiedlichen Faktor vorne haben, also so:

2 ||x|| hat "längere" Vektoren als ||x|| (als Beispiel)
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich lad dir mal ein Bild hoch. Das, worauf du achten sollst, ist die Tatsache, dass an manchen Stellen der Kreis "innerhalb" des Quadrates ist und umgekehrt. Achtung: Nur eins von beiden kann ein Einheits-"Kreis" sein. Der andere ist skaliert.

EDIT: Huch, das sieht ziemlich schräg aus. Das wurde irgendwie falsch konvertiert. Ich hoffe, man kann es trotzdem erkennen. Es soll ein um 45° gedrehtes Quadrat und einen dazu konzentrischen Kreis beinhalten, die um den 0-Punkt eines Koordinatensystems liegen.
D@Npower Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir wird es richtig dargestellt - super! :-)

Meine Frage jedoch bleibt: Ich muss ja zwei Vektoren angeben (ich nehme an konkret) und sehe momentan gerade nicht, was ich von der Grafik konkret übernehmen könnte..

Wie die Einheitsbälle von L_1, L_2 und L_oo aussehen, ist mir bekannt, aber eben - wie kann ich daraus meine Vektoren herausfinden?
Es hat sicherlich mit den Stellen zu tun, wo der Kreis ausserhalb bzw innerhalb des Quadrates liegt..
(übrigens: zu meiner Aufgabe müsste es doch das "grosse" Quadrat (mit den Seiten parallel zu den Achsen) sein, nicht? )
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