Ungleichungen beweisen mit Induktion?

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lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen beweisen mit Induktion?
Hi,

habe hier wieder eine Aufgabe die mir Kopfschmerzen bereitet:



Beweisen Sie für die Ungleichungen:





Ich habe bis jetzt die Idee, dass man beide Ungleichungen einzeln beweisen sollte und zwar würde ich das mit vollst. Induktion machen wollen:

oBdA nehme ich außerdem noch an, dass gilt:


Induktionsanfang: Die Ungleichungen stimmen für n=1 ( sieht man durch einsetzten, denn dann steht

Induktionsvorraussetzung: Die Ungleichungen gelten für ein bestimmtes

Induktionsschritt:

So und da komme ich jetzt erst mal nicht weiter...
kann mir jemand auf die Sprünge helfen??

LG Lili
tmo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen beweisen mit Induktion?
Zitat:
Original von lilithilli1210
Beweisen Sie für die Ungleichungen:





Ich habe bis jetzt die Idee, dass man beide Ungleichungen einzeln beweisen sollte und zwar würde ich das mit vollst. Induktion machen wollen:


Lustigerweise bin ich eben mal die Induktion (für die linke Ungleichung) durchgegangen und bin dann beim Induktionsschritt irgendwann an einen Punkt angelangt, wo ich die Gültigkeit der rechten Ungleichung für n benötige um auf die Gültigkeit der linken Ungleichung für n+1 schließen.

Die ganze Sache ist allerdings leider sehr langwierig, wäre froh, wenn jemand mit nem Geistesblitz kommt und das ganze etwas elleganter beweist smile

Also:

Wir nehmen die Gültigkeit der kompletten Ungleichungskette für n an.

Dabei setzen wir und entsprechend .

Es gilt also für beliebige Folgen

Nun zum Induktionsschritt:
Wir wollen zunächst die linke Ungleichung zeigen.
Also für beliebige Folgen .

Dazu nehmen wir wie du vorgeschlagen hast o.B.d.A erstmal an, es sei . (Wenn das noch nicht der Fall ist, ordnet man die Folgen einfach um, sodass das gilt. Dabei ändert sich offensichtlich wededer das Minimum noch der Quotient der Summen).


Daraus folgt direkt

.

Also müssen wir nur noch zeigen:

bzw.


Angenommen . Man kann daraus sofort folgern. Also

Bleibt noch .
Wenn und unterschiedliches Vorzeichen haben, ist die Sache relativ einfach. Es bedarf nur einer kleiner Überlegung.

Also beschränken wir uns auf den Fall, dass sie selbes Vorzeichen haben.

Damit wird aber äquivalent zu

oder .

(Je nachdem ob das gemeinsame Vorzeichen positiv oder negativ ist)

Das widerum ist äquivalent zu



Und jetzt kommt ins Spiel, dass wir auch die Gültigkeit der rechten Ungleichung in der Induktionsvorraussetzung angenommen haben. Augenzwinkern
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen beweisen mit Induktion?
Zitat:
Original von tmo


Dabei setzen wir und entsprechend .

Es gilt also für beliebige Folgen

Nun zum Induktionsschritt:
Wir wollen zunächst die linke Ungleichung zeigen.
Also für beliebige Folgen .

Dazu nehmen wir wie du vorgeschlagen hast o.B.d.A erstmal an, es sei . (Wenn das noch nicht der Fall ist, ordnet man die Folgen einfach um, sodass das gilt. Dabei ändert sich offensichtlich wededer das Minimum noch der Quotient der Summen).


Daraus folgt direkt

.



Ich verstehe nicht ganz, warum du das so , definierst...?
Muss man das?, hat man davon einen Vorteil? oder dient das nur der Übersichtlichkeit?

und wie folgt aus dem was du geschrieben hast: ?

Irgendwie versteh ich komplett nicht was du da gemacht hast unglücklich

Irgendwie kann ich mir auch nicht vorstellen dass eine so komplizierte Lösung gesucht wird.
Es ist das zweite Übungsblatt im ersten Semester.

wir hatten noch als Tip bekommen, für die Induktionsvorraussetzung folgendes zu verwenden:

für die erste Induktion:


und für die zweite:


leider bin ich immer noch nicht weiter als gestern....

lg lili
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

hat nicht noch jemand eine idee?
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