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24.10.2009, 17:42	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm Hallo zusammen! Ich hätte noch eine Frage zum Thema Normen. Eine Norm ( $\begin{eqnarray} \|\| \cdot \|\| \end{eqnarray}$ ) ist ja definiert durch folgende drei Eigenschaften: 1.) \|\|x\|\| >= 0 (für alle x im Vektorraum) 2.) \|\|ax\|\| = \|a\| \|\|x\|\| 3.) \|\|x + y\|\| <= \|\|x\|\| + \|\|y\|\| (Dreiecksungleichung) Wenn ich jetzt zeigen muss, dass durch $\begin{eqnarray} \|\| \cdot \|\| : R^2 \Rightarrow R, \|\|(x_1, x_2)\|\|: = \sqrt{x^2_1 + 2x^2_2} \end{eqnarray}$ eine Norm definiert ist - reicht es dann, die drei genannten Eigenschaften zu zeigen? (..wie würde man denn Nr. 2 zeigen?)
24.10.2009, 17:45	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das reicht zu zeigen, denn es ist die Definition. zu 2) Setze für $\begin{eqnarray} a\in\mathbb R \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} (a\cdot x_1,a\cdot x_2)\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und bilde dann mal ganz Stur die Norm [einsetzen].
24.10.2009, 18:19	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Also: 1.) (offensichtlich: es wird ja die Quadratzahl von x gefordert, also ist \|\|x\|\| (stimmt das, oder heisst es statt \|\|x\|\| in diesem Fall: \|\|\|\| ? [in den Definitionen haben wir das eben meistens mit \|\|x\|\| bezeichnet) sicher grösser gleich 0. 2.) $\begin{eqnarray} \|\|ax_1, ax_2 \|\| : = \sqrt{ax_1^2 + a2x_2^2} = \|a\| \sqrt{x_1^2 + 2x_2^2} = \|a\| \cdot \|\|x\|\| \end{eqnarray*}$ 3.) zur Dreiecksungleichung: Hier hätte ich einfach \|\|x + y\|\|^2 bewiesen, aber ich habe gerade gesehen, dass das ja nicht ganz stimmt.. Wie wäre hier das richtige vorgehen?
24.10.2009, 18:23	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
(1) und (2): . zu (3): Du nimmst nun $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=(y_1,y_2) \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ beliebig. Nun würde ich versuchen mit der rechten Seite anzufangen: $\begin{eqnarray} \\|x\\|+\\|y\\|=\\|(x_1,x_2)\\|+\\|(y_1,y_2)\\|=... \end{eqnarray}$ Wieder einsetzen und ein bischen herumspielen.
24.10.2009, 18:33	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|x\\|+\\|y\\|=\\|(x_1,x_2)\\|+\\|(y_1,y_2)\\|= (\sqrt{x_1^2 + 2x_2^2} + \sqrt{y_1^2 + 2y_2^2} ) \geq ... \end{eqnarray}$ ..stimmt das soweit, oder hätte ich x_1 und y_1 zusammennehmen müssen? ..jetzt käme ja der "kleiner-gleich"-Term..den ich bis jetzt noch nicht hingekriegt habe..aber zuerst will ich doch sicher gehen, ob das bis anhin stimmt..
24.10.2009, 18:36	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, alles gut bisher. Aber mir ist noch ein Fehler in (2) aufgefallen [ $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ musst du natürlich mitquadrieren, denn es gehört ja zu den Koordinaten vom Punkt dazu]: $\begin{eqnarray} \\|(ax_1,ax_2)\\|=\sqrt{(ax_1)^2+2(ax_2)^2}=\sqrt{a^2(x_1^2+2x_2^2)}=\|a\|\sqrt{x_1^2+2x_2^2}=\|a\|\cdot\\|(x_1,x_2)\\| \end{eqnarray}$ .
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25.10.2009, 02:51	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Der Beweis ist fertig ..stimmt, auf den ersten Blick ist mir das auch nicht aufgefallen, auf den zweiten jedoch völlig klar ..wenn ich nun (nur zur "Veranschaulichung") noch einen Einheitsball B(0,1) bezüglich $\begin{eqnarray} \|\| \cdot \|\| \end{eqnarray}$ zeichnen müsste, so wäre das einfach ein Kreis mit Radius 1, nicht wahr?
25.10.2009, 09:52	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das wäre sicher kein Kreis. Nehmen wir mal nur Vektoren auf der x-Achse $\begin{eqnarray} (x_1,0) \end{eqnarray}$ . Wann hat es dort Norm 1? Falls $\begin{eqnarray} 1=\\|(x_1,0)\\|=\sqrt{x_1^2} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x_1=\pm1 \end{eqnarray}$ . Aber auf der y-Achse $\begin{eqnarray} (0,x_2) \end{eqnarray}$ wäre es $\begin{eqnarray} 1=\\|(0,x_2)\\|=\sqrt{2x_2^2} \end{eqnarray}$ , also ...
25.10.2009, 12:06	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
...also $\begin{eqnarray} x_2 = \pm \frac{\sqrt{2} }{2} \end{eqnarray}$
25.10.2009, 13:01	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und das bedeutet, dass die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} x=(1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{eqnarray}$ auf dem Einheitskreis bzgl deiner Norm liegen - und das ergibt niemals einen Kreis bezüglich der "normalen" euklidischen Norm. Das bedeutet, der Einheitskreis ist ein Ei.
25.10.2009, 13:22	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh..haha ui..stimmt! ..ein Ei, das nicht "steht" sondern liegt - also mehr in die Länge geht als in die Höhe :-) Vielenvielen Dank! Ich habe noch eine letzte Frage zu diesem "Fall": Angenommen, ich hätte zwei Konstanten (c_1 und c_2 in R (>0) ) zu bestimmen, so dass für alle x in R^2 gilt: $\begin{eqnarray} c_1 \|\|x\|\| \leq \|\|x\|\|_2 \leq c_2\|\|x\|\| \end{eqnarray}$ Wie gehe ich da genau vor? Kann ich nicht (wegen den Einheitsbällen) einfach sagen, c_1 soll kleiner als 1, und c_2 grösser als 1 sein?
25.10.2009, 14:27	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den Einheitsbällen kannst du zwar etwas für dich sagen, aber wie immer ist ein Bild kein Beweis [bzw auch keine Argumentation "sieht man ja"]. Um solche Konstanten zu finden musst du wirklich rechnen, da bleibt nichts anderes. Nehme $\begin{eqnarray} x=(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ und bilde einmal $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2 \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} \\|x\\| \end{eqnarray}$ und dann musst du ein bischen mit den Ausdrücken spielen.
25.10.2009, 14:43	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
zum Beispiel x=(4,0.5) würde eine Lösung sein. Ganz generell sollte x_1 gegen unendlich gehen, und x_2 gegen 0 (aber nicht = 0 ! )
25.10.2009, 17:37	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe garnicht von was du schreibst.
25.10.2009, 17:52	D@Npower	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh...dumm Tut mir leid wegen der dummen Frage! ..ich habe es (endlich..) herausgefunden..schon klar konntest du mir nicht mehr sagen, es ist ja wirklich (fast) offensichtlich :-) Vielen Dank für die Hilfe und die nützlichen Tipps!

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