Beweis Quadratzahl

25.10.2009, 14:52

estrella28

Beweis Quadratzahl

Von der Zahlenfolge a0, a1, a2, ... ist bekannt:
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1 und an+2 + an-1 = 2 · (an+1 + an) für alle n Element von N.
Es ist zu beweisen, daß alle Glieder dieser Folge Quadratzahlen sind.

Ich komme da nicht weiter! Brauch dringend eure Hilfe!

25.10.2009, 14:59

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
Von der Zahlenfolge a0, a1, a2, ... ist bekannt:

$\begin{eqnarray*} a_0 = 0, a_1 =1, a_2 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+2} + a_{n-1} = 2 \cdot (a_{n+1} + a_n) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Es ist zu beweisen, daß alle Glieder dieser Folge Quadratzahlen sind.

Ich komme da nicht weiter! Brauch dringend eure Hilfe!

Bestimme erstmal die ersten Folgenglieder, also $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,a_2,a_3,... \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 15:04

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
das geht ja eigentlich nicht, da ich ja theoretisch nicht a(n+1) bzw. a(n+2) kenne, also müsst ich ja von einer quadratischen folge ausgehen

25.10.2009, 15:08

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
das geht ja eigentlich nicht, da ich ja theoretisch nicht a(n+1) bzw. a(n+2) kenne, also müsst ich ja von einer quadratischen folge ausgehen

Du hast
$\begin{eqnarray*} a_0=0 \\ a_1=1 \\ a_2=1 \end{eqnarray*}$

Nun ist für n=1 :
$\begin{eqnarray*} a_{2+1}+a_0=2\cdot(a_2+1_1) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} a_3=2a_2+2a_1-a_0 \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 15:10

Jacques

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Hallo,

Vielleicht ist die Rekursion übersichtlicher, wenn man n+2 durch m ersetzt, n+1 dann durch m-1 u. s. w.

$\begin{eqnarray*} a_m = 2(a_{m - 1} + a_{m-2}) - a_{m-3} \qquad \textrm{für alle } m \in \{ 3, 4, 5, \ldots \} \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 15:12

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ok, das habe ich kapiert und jetzt, wie beweise ich das a(n+2) eine quadratzahl ist

25.10.2009, 15:15

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Hallo,

Vielleicht ist die Rekursion übersichtlicher, wenn man n+2 durch m ersetzt, n+1 dann durch m-1 u. s. w.

__________________
...

dazu: wir hatten noch gar nichts mit folgen, ich habe gerade erst angefangen zu studieren, wir haben gerade Aussagelogik und mengenlehre, und diese aufgabe war dazu

25.10.2009, 15:25

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
a(n+2)= (n+1)² gilt ja, muss ich jetzt eigenlich nur beweisen, dass n+1 eine natürlich Zahl ist, das sie ja ist, da n eine ist und 1 auch

geht das als beweis durch?

25.10.2009, 15:36

Jacques

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Der Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} a_{n + 2} = (n + 1)^2 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} a_{m} = (m - 1)^2 \end{eqnarray*}$

ist natürlich gerade zu zeigen!

25.10.2009, 15:37

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
und genau da habe ich ein Problem, wie zeige ich das????

25.10.2009, 15:48

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
a(n+2)= (n+1)² gilt ja, muss ich jetzt eigenlich nur beweisen, dass n+1 eine natürlich Zahl ist, das sie ja ist, da n eine ist und 1 auch

geht das als beweis durch?

nein, das wäre ein beweis, dass die folge natürliche zahlen enthält

und
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}=(n+1)^2 \end{eqnarray*}$
gilt NICHT

es ist zB.
$\begin{eqnarray*} a_6=8^2 \end{eqnarray*}$

Hast du schon einmal etwas von Induktion gehört?

25.10.2009, 15:49

Jacques

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Sorry, ich sehe gerade, dass diese Regel gar nicht allgemein gilt, gerade mal bis a4.

25.10.2009, 15:59

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von MLRS

Zitat:

Original von estrella28
a(n+2)= (n+1)² gilt ja, muss ich jetzt eigenlich nur beweisen, dass n+1 eine natürlich Zahl ist, das sie ja ist, da n eine ist und 1 auch

geht das als beweis durch?

von Induktion habe ich schon mal, was von gehört, jetzt habe ich gar keine idee mehr

25.10.2009, 16:06

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28

von Induktion habe ich schon mal, was von gehört, jetzt habe ich gar keine idee mehr

Dann empfehle ich dir, dich auf diesem Gebiet (wieder) schlau zu machen

In welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe gestellt bekommen?

25.10.2009, 16:10

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ich weiß wie Induktion funktioniert, aber ich habe keine idee wie ich das hier verwenden soll

Wir haben ein bisschen Aussagelogik und Mengenlehre gemacht, und Arten von Beweisen, Induktion bisher nur in zusammenhang mit summenformeln

25.10.2009, 16:15

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
ich weiß wie Induktion funktioniert, aber ich habe keine idee wie ich das hier verwenden soll

Wir haben ein bisschen Aussagelogik und Mengenlehre gemacht, und Arten von Beweisen, Induktion bisher nur in zusammenhang mit summenformeln

Hier das gleiche Prinzip, allerdings musst du erst eine Vermutun aufstellen, die du beweisen kannst...

Dazu solltest du dir die ersten Folgenwert ansehen

25.10.2009, 16:28

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ich habe keine idee, kannst du mir nicht da einen tipp geben, ich komme einfach nicht drauf, der erste folgewert ist 1, der zweite ist 1 der dritte ist 4, ich sehe keinen zusammenhang, bitte: ich bin schon am verzweifeln

25.10.2009, 16:34

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
ich habe keine idee, kannst du mir nicht da einen tipp geben, ich komme einfach nicht drauf, der erste folgewert ist 1, der zweite ist 1 der dritte ist 4, ich sehe keinen zusammenhang, bitte: ich bin schon am verzweifeln

mit einem berechneten Wert kann man keine Vermutung aufstellen...

$\begin{eqnarray*} a_0=0=0^2 \\ a_1=1=1^2 \\ a_2=1=1^2 \\ a_3=4=2^2 \\a_4=9=3^2\\a_5=25=5^2\\a_6=64=8^2 \\ a_7=169=13^2 \\... \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du zumindest eine vermutung aufstellen können

25.10.2009, 16:43

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von MLRS

Zitat:

ja ich weiß zu beispiel gibt die wurzel aus a1 + die wurzel aus a2 die wurzel aus a3 , wie drücke ich das allgemein aus?

25.10.2009, 16:46

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
ja ich weiß zu beispiel gibt die wurzel aus a1 + die wurzel aus a2 die wurzel aus a3 , wie drücke ich das allgemein aus?

Das stimmt, allerdings brauchen wir eine explizite Definition, eine rekursive haben wir schon Augenzwinkern

Schau dir mal die Zahlen auf der rechten seite (ohne das ²) an...die sollten dir bekannt vorkommen

25.10.2009, 16:48

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ist das nicht die fibonacci folge oder so?
was bedeutet rekursiv?

25.10.2009, 16:50

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
ist das nicht die fibonacci folge oder so?

stimmt

Zitat:

Original von estrella28was bedeutet rekursiv?

rekursiv ist zB. die Definition aus der Angabe.. a_n wird durch vorhergehende Werte ausgedrückt

explizit heißt, dass man a_n berechnen kann, ohne vorhergehende folgenglieder zu kennen

+++

also du kennst die Fibonacci-Folge. Wie ist sie definiert und in welchem Zusammenhang könnten sie mit der Aufgabe stehen?

25.10.2009, 16:53

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ich habe davon mal gehört, aber noch nie behandelt, wir haben sowas nie in der schule gemacht und ich habe gerade angefangen zu studieren, wo wir auch noch keine folgen behandelt haben. Kannst du mir das vielleicht einfach erklären?

25.10.2009, 16:56

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
ich habe davon mal gehört, aber noch nie behandelt, wir haben sowas nie in der schule gemacht und ich habe gerade angefangen zu studieren, wo wir auch noch keine folgen behandelt haben. Kannst du mir das vielleicht einfach erklären?

Dann wundert es mich, dass dir diese Aufgabe gestellt wurde...naja

Die Fibonacci-Folge ist so definiert:

$\begin{eqnarray*} F_0=0 , \ F_1=1 \\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} \end{eqnarray*}$

also jedes Folgenglied ist einfach die Summe aus den beiden vorhergehenden Folgengliedern.

(Es gibt auch eine explizite Darstellung, die macht das ganze aber nur komplizierter)

Zurück zur Aufgabe:

Du schreibst dir jetzt die ersten Fibonacci-Zahlen auf und vergleichst sie mit der Liste oben

25.10.2009, 16:59

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge, nur wie kann ich jetzt daraus einen allgemeinen Beweis führen, dass diese Zahlen in "meiner" Folge Quadratzahlen sind????

25.10.2009, 17:01

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge, nur wie kann ich jetzt daraus einen allgemeinen Beweis führen, dass diese Zahlen in "meiner" Folge Quadratzahlen sind????

Wenn du das beweisen kannst, was du behauptest
("die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge")
,dann hast du damit automatisch bewiesen, dass alle Zahlen Quadratzahlen sind...du hast sogar mehr bewiesen als nötig war

Schreib deine Vermutung auf und formuliere dann einen Induktionsbeweis.

25.10.2009, 17:04

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ja und da ergibt sich das nächste Problem: wie soll ich wurzel a(n) = wurzel a(n-1) + wurzel a(n-2)
mit induktion beweisen, wir haben das bis jetzt nur mit den summenzeichen gemacht ???

25.10.2009, 17:08

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
ja und da ergibt sich das nächste Problem: wie soll ich wurzel a(n) = wurzel a(n-1) + wurzel a(n-2)
mit induktion beweisen, wir haben das bis jetzt nur mit den summenzeichen gemacht ???

Du hast doch oben schon geschrieben:

"die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge"

also lautet die Vermutung:

$\begin{eqnarray*} a_n=F_n^2 \end{eqnarray*}$

nun zur induktion:

den induktionsanfang hab ich für die ersten 7 zahlen bereits gemacht.
die induktionsvoraussetzung (oder wie auch immer ihr das nennt) ist $\begin{eqnarray*} a_n=F_n^2 \end{eqnarray*}$

du sollst im induktionsschritt zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=F_{n+1}^2 \end{eqnarray*}$
dann bist ud fertig

25.10.2009, 17:12

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ja weiß ich, aber ich weiß nicht wie genau ich zeigen kann das a(n+1) = F²(n+1)
weil wir bis jetzt nichts mit n im index gemacht haben

25.10.2009, 17:19

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
ja weiß ich, aber ich weiß nicht wie genau ich zeigen kann das a(n+1) = F²(n+1)
weil wir bis jetzt nichts mit n im index gemacht haben

dann hat die ganze Aufgabe wenig sinn...

damit das ganze aber nicht umsonst war:

$\begin{eqnarray*} F_{n+1}^2=a_{n+1} \\ (F_n+F_{n-1})^2=2a_n+2a_{n-1}-a_{n-2} \\ <br /> F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2=2F_n^2+2F_{n-1}^2-F_{n-2}^2 \\<br /> F_{n-2}^2=F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2\\<br /> (F_{n}-F_{n-1})^2=F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, dass die Zahlen deiner Folge die Quadrate der Fibonacci-Zahlen sind.

25.10.2009, 17:22

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
was bedeutet <\br>

25.10.2009, 17:26

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28
was bedeutet <\br>

Was meinst du?

Was macht man mit 16 an der Uni?

25.10.2009, 17:28

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
erstens bin ich 19 und nicht 16, zweitens kann die Induktion irgendwie nicht nachvollziehen, würde es dir viel mühe machen, mir schritt für schritt zu erklären??

25.10.2009, 17:30

Jacques

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Das <\br> erscheint bei manchen Browsern, wenn man im Formeleditor einen Zeilenumbruch macht. Deswegen lieber den Editor jeweils neu aufrufen @ MLRS

Ein Hinweis noch wegen der vollständigen Induktion:

Das ist keine „klassische“ Induktion, wo man von n auf n+1 schließt, sondern „starke Induktion“: Man setzt voraus, dass die Aussage für alle m < n gilt und muss dann die Richtigkeit für n zeigen (bzw.: Man setzt die Richtigkeit für alle Zahlen kleinergleich n voraus und zeigt die Richtigkeit für n+1). Ein Induktionsanfang ist in dem Fall übrigens nicht nötig.

25.10.2009, 17:35

estrella28

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kann mir einer bitte schritt für schritt diese Induktion erklären, ich verstehe das echt nicht, ich weiß nicht wie man überhaupt auf die Ausgangsgleichung kommt

25.10.2009, 17:36

MLRS

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Zitat:

Original von Jacques
Das <\br> erscheint bei manchen Browsern, wenn man im Formeleditor einen Zeilenumbruch macht. Deswegen lieber den Editor jeweils neu aufrufen @ MLRS

Ein Hinweis noch wegen der vollständigen Induktion:

Das ist keine „klassische“ Induktion, wo man von n auf n+1 schließt, sondern „starke Induktion“: Man setzt voraus, dass die Aussage für alle m < n gilt und muss dann die Richtigkeit für n zeigen (bzw.: Man setzt die Richtigkeit für alle Zahlen kleinergleich n voraus und zeigt die Richtigkeit für n+1). Ein Induktionsanfang ist in dem Fall übrigens nicht nötig.

Danke für die Information und Ergänzung smile

@estrella: In welchem Zusammenhang hast die diese Afgabe bekommen? Übung zur Vorlesung?

25.10.2009, 17:37

estrella28

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ja kleine Übung, die man dort vorstellen muss

25.10.2009, 17:41

MLRS

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Zitat:

Original von estrella28
ja kleine Übung, die man dort vorstellen muss

Du verstehst, wie man auf die Vermutung kommt und warum diese beweist, dass jedes Folgenglied eine Quadratzahl ist?

Du verstehst, wie man eine klassische Induktion macht?

Du verstehst, wie man einen Induktionsbeweis in diesem Beispiel macht?

25.10.2009, 17:43

estrella28

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ich verstehe alles bis auf das letztere, den induktionsbeweis von dir habe ich nicht verstanden, tut mir leid, für mich ist alles neu

25.10.2009, 17:48

MLRS

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Zitat:

Original von estrella28
ich verstehe alles bis auf das letztere, den induktionsbeweis von dir habe ich nicht verstanden, tut mir leid, für mich ist alles neu

also gut

Vermutung ist aufgestellt, das Vorwissen ist:

$\begin{eqnarray*} a_n=2a_{n-1}+2a_{n-2}-a_{n-2}\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \end{eqnarray*}$

Nun setzen wir voraus, dass für alle $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} a_k=F_k^2 \end{eqnarray*}$

Daraus wollen wir
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=F_{n+1}^2 \end{eqnarray*}$
folgern

Soweit klar?

Wenn ja, schau dir nochmal an, was ich auf Seite 2 unten geschrieben hab

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