Beweis Quadratzahl - Seite 2

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25.10.2009, 17:50

estrella28

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ja, muss das letzte glied nicht a(n-3) sein?

25.10.2009, 17:54

MLRS

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Zitat:

Original von estrella28
ja, muss das letzte glied nicht a(n-3) sein?

ja natürlich

$\begin{eqnarray*} a_n=2a_{n-1}+2a_{n-2}-a_{n-3} \end{eqnarray*}$

auf seite 2 unten wird das gleiche verwendet, wobei der index um 1 verschoben wurde, also

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}=2a_n+2a_{n-1}+a_{n-2} \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 17:56

estrella28

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jetzt wird es ein wenig klarer :-)

25.10.2009, 18:16

estrella28

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wie geht es denn jetzt weiter???

25.10.2009, 18:19

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von MLRS

Zitat:

Original von estrella28
ja weiß ich, aber ich weiß nicht wie genau ich zeigen kann das a(n+1) = F²(n+1)
weil wir bis jetzt nichts mit n im index gemacht haben

dann hat die ganze Aufgabe wenig sinn...

damit das ganze aber nicht umsonst war:

$\begin{eqnarray*} F_{n+1}^2=a_{n+1} \\ (F_n+F_{n-1})^2=2a_n+2a_{n-1}-a_{n-2} \\ F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2=2F_n^2+2F_{n-1}^2-F_{n-2}^2 \\ F_{n-2}^2=F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2\\ (F_{n}-F_{n-1})^2=F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, dass die Zahlen deiner Folge die Quadrate der Fibonacci-Zahlen sind.

Ich verstehe die letzte Zeile nicht

25.10.2009, 18:29

MLRS

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von estrella28

Zitat:

Original von MLRS
$\begin{eqnarray*} F_{n+1}^2=a_{n+1} \\ (F_n+F_{n-1})^2=2a_n+2a_{n-1}-a_{n-2} \\ F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2=2F_n^2+2F_{n-1}^2-F_{n-2}^2 \\ F_{n-2}^2=F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2\\ (F_{n}-F_{n-1})^2=F_n^2-2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist gezeigt, dass die Zahlen deiner Folge die Quadrate der Fibonacci-Zahlen sind.

Ich verstehe die letzte Zeile nicht

$\begin{eqnarray*} F_{n-2}^2=(F_{n}-F_{n-1})^2 \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} F_{n-2}=(F_{n}-F_{n-1}) \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} F_{n-2}+F_{n-1}=F_{n} \end{eqnarray*}$

oder die andere letzte zeile? Big Laugh

Weil das eine wahre Aussage ist, habe ich die Richtigkeit von $\begin{eqnarray*} F_{n+1}^2=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gezeigt und damit den Induktionsbeweis vollendet

25.10.2009, 18:36

estrella28

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
danke, jetzt habe ich es verstanden, danke, du hast mir sehr geholfen!!!!

smile

26.10.2009, 01:22

Mystic

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Hier nur als Alternative die nachfolgende Lösung der Aufgabe, wobei mich jetzt echt interessieren würde, ob das von den Lesern als einfacher oder komplizierter als der oben skizzierte Weg empfunden wird...

Zunächst versuche ich die Folge als Linearkombination von 3 geometrischen Folgen darzustellen, wobei die Quotienten offenbar folgender Gleichung genügen müssen:

$\begin{eqnarray*} q^3-2q^2-2q+1=(q+1)(q-\frac{3+\sqrt5}2)(q-\frac{3-\sqrt5}2)=0 \end{eqnarray*}$

In Hinblick auf die Startwerte unserer Folge, nämlich

$\begin{eqnarray*} a_0=0,\ a_1=1,\ a_2=1 \end{eqnarray*}$

ergibt sich zunächst die folgende explizite Formel für alle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_m=\frac 15 \left[\left(\frac{3+\sqrt 5}2\right)^m+\left(\frac{3-\sqrt 5}2\right)^m\right]-\frac 25 (-1)^m \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \frac {3\pm\sqrt5}2 =\left(\frac{1\pm\sqrt5}2\right)^2, \textnormal{ sowie } \frac{1+\sqrt5}2 \cdot \frac{1-\sqrt5}2 =-1 \end{eqnarray*}$

folgt daraus weiter die "schönere" Formel für alle $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_m=\left\{\frac 1 {\sqrt 5} \left[\left(\frac{1+\sqrt 5}2\right)^m-\left(\frac{1- \sqrt 5}2\right)^m\right]\right\}^2 = F_m^2 \end{eqnarray*}$

Selbst wenn man die "explizite Formel" für die Fibonaccizahlen nicht kennt, sieht man doch durch genaues Hinschauen, dass der Ausdruck in geschwungenen Klammern ganz sein muss, was dann die Aufgabe löst...

26.10.2009, 10:09

MLRS

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Natürlich - wenn man sich bereits mit Rekursionen beschäftigt hat ist dieser Ansatz naheliegend.
aber für "Neulinge" auf diesem Gebiet ist Induktion mMn leichter zu verstehen.

schöne Lösung Freude

- ich wollte diesen Ansatz vermeiden, weil die explizite Formel für die Fibonacci-Zahlen eher verwirrt als verständlich macht

26.10.2009, 14:19

Reksilat

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von MLRS
Weil das eine wahre Aussage ist, habe ich die Richtigkeit von $\begin{eqnarray*} F_{n+1}^2=a_{n+1} \end{eqnarray*}$ gezeigt und damit den Induktionsbeweis vollendet

Einen Beweis führt man nicht, indem man die Behauptung in eine wahre Aussage überführt! böse

Aus 2=1 kann ich auch folgern, dass Einstein der Papst ist. - Bringt nur nichts, da die Voraussetzung Quatsch ist. Eine Behauptung auf diese Art zu beweisen ist schlichtweg falsch!
Wird an der Schule leider viel zu oft falsch gelehrt und sollte den Studenten eigentlich gleich zu Beginn des ersten Semesters vollständig ausgetrieben werden.

So kann man es aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1} &=&2a_n+2a_{n-1}-a_{n-2} \\ &=&2F_n^2+2F_{n-1}^2-F_{n-2}^2 \\ &=&2F_n^2+2F_{n-1}^2-(F_{n}-F_{n-1})^2\\ &=&2F_n^2+2F_{n-1}^2-F_{n}^2+2F_nF_{n-1}-F_{n-1}^2\\ &=&F_n^2+2F_nF_{n-1}+F_{n-1}^2\\ &=&(F_n+F_{n-1})^2\\ &=&F_{n+1}^2 \end{eqnarray*}$

Nichtsdestotrotz: Viele Dank, MLRS, für Deinen fleißigen Einsatz hier. Blumen

Gruß,
Reksilat. Wink

@Mystic: Wirklich hübsch.

26.10.2009, 15:35

Jacques

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe

Zitat:

Original von Reksilat

Einen Beweis führt man nicht, indem man die Behauptung in eine wahre Aussage überführt! böse

Aber er hat doch äquivalente Umformungen benutzt:

$\begin{eqnarray*} A_1 \Longleftrightarrow A_2 \Longleftrightarrow \ldots \Longleftrightarrow A_n \end{eqnarray*}$

Wenn An dann wahr ist, dann ist eben auch der Ausgangspunkt A1 wahr.

Wo ist das Problem?

26.10.2009, 15:50

Reksilat

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RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Das Problem liegt erstens darin, dass nirgendwo was von äquivalenten Umformungen steht. Jedenfalls habe ich hier nichts dazu gefunden.

Zweitens wird dieses Vorgehen häufig dadurch "legitimiert", dass man im Nachhinein ein paar Äquivalenzpfeile davorpinselt. Dies geschieht häufig ohne das nötige Überprüfen auf wirkliche Äquivalenz.

Auf diese Art den Beweis zu finden, ist natürlich vollkommen in Ordnung, nur muss man seine Argumentation danach eben so umschreiben, dass sie logisch korrekt gefolgert und für andere einwandfrei zu verstehen ist. Ich will einen Beweis schließlich von vorne nach hinten lesen können und wenn dort irgendwo $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=F_{n+1}^2 \end{eqnarray*}$ steht, dann muss das auch vorher gezeigt worden sein.
Solche "Beweise von hinten" werden bei uns gnadenlos mit 0 Punkten bestraft. Teufel

Gruß,
Reksilat.

26.10.2009, 16:00

MLRS

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tut mir leid, da war ich wohl schlampig Ups

26.10.2009, 16:11

Mystic

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Irgendwie läßt mich dieses Beispiel nicht los, weil ich das Gefühl habe, es noch nicht ganz "durchschaut" zu haben... An dem Lösungsweg von MLRS stört mich vor allem, dass man überhaupt nicht sieht, wo die Quadrate von Fibonaccizahlen ins Spiel kommen, obwohl man die Richtigkeit leicht induktiv zeigen kann...

Bei meinen "Recherchen" bin ich nun auf einen Lösungsweg gestoßen, wo die Fibonaccizahlen nicht ganz so unvermittelt ins Spiel kommen, sodass mir persönlich etwas wohler bei der Sache ist...

Dazu muss man die ursprüngliche Rekursion, nämlich

$\begin{eqnarray*} a_0=0,\ a_1=1,\ a_2=1,\quad a_m = 2a_{m-1}+2a_{m-2}-a_{m-3}\quad \forall m \ge 3 \end{eqnarray*}$

so umschreiben, dass mit

$\begin{eqnarray*} b_k = a_k+a_{k-1}, \ k \geq 1 \end{eqnarray*}$

dann gilt

$\begin{eqnarray*} b_1=1,\ b_2=2,\quad b_m = 3 b_{m-1}-b_{m-2} \quad \forall m \ge 3 \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe von einer Art "Teleskoptrick" können wir auch die ursprüngliche Folge leicht aus der b-Folge zurückgewinnen, nämlich durch die Formel

$\begin{eqnarray*} a_m= \sum_{k=1}^m (-1)^{m-k}b_k \end{eqnarray*}$

Dies ist umso interesssanter, als die Folge der $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ähnlich wie die Fibonaccifolge einer zweigliedrigen Rekursion genügt und von daher keimt bereits ein erster Verdacht, dass ein Zusammenhang mit dieser bestehen könnte... Tatsächlich gilt

$\begin{eqnarray*} F_{2k-1}=\underbrace{F_{2k-2}}_{F_{2k-3}+F_{2k-4}}+F_{2k-3}=2F_{2k-3}+\underbrace{F_{2k-4}}_{F_{2k-3}-F_{2k-5}}=3F_{2k-3}-F_{2k-5},\quad F_{2\cdot1-1}=1,\ F_{2\cdot2-1}=2 \end{eqnarray*}$

sodass also $\begin{eqnarray*} b_k =F_{2k-1},\ k=1,2,,... \end{eqnarray*}$ die Lösung obiger Rekursion darstellt...

Oben eingesetzt folgt daraus weiter

$\begin{eqnarray*} a_m= \sum_{k=1}^m (-1)^{m-k}F_{2k-1} =F_m^2,\quad m \geq 0 \end{eqnarray*}$

Die letzte Gleichung ist wieder einer Formel aus dem unerschöpflichen Reservoir an Formeln für die Fibonaccifolge, welche man halt wieder mit Induktion beweisen muss...Für mich ist der einzige Schwachpunkt an dieser Herleitung, dass ich dzt. noch nicht unmittelbar "sehe", warum sie eigentlich gilt, sondern sie nur induktiv beweisen kann, aber vielleicht hat ja jemand hier eine Idee..

PS. Was die Diskussion unten betrifft, so bin ich im Prinzip 100% auf der Seite von Reksilat, wenn ich auch glaube, dass sich MLRS dieser Problematik wohl bewußt war...Ob das allerdings bei allen mitlesenden Studenten auch so ist wage ich aber nach meinen Erfahrungen stark zu bezweifeln, weshalb man halt Beweise von vorherein "sauber" führen sollte, um sich nicht im nachhinein damit rechtfertigen zu müssen, dass alles Äquivalenzumformungen waren und die eigentliche Beweisreichtung schon irgendwie auch da ist, indem man eben den ganzen Weg von der wahren Aussage wieder retour geht...

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