Beweis Quadratzahl

Neue Frage »

estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Quadratzahl
Von der Zahlenfolge a0, a1, a2, ... ist bekannt:
a0 = 0, a1 = 1, a2 = 1 und an+2 + an-1 = 2 · (an+1 + an) für alle n Element von N.
Es ist zu beweisen, daß alle Glieder dieser Folge Quadratzahlen sind.

Ich komme da nicht weiter! Brauch dringend eure Hilfe!
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
Von der Zahlenfolge a0, a1, a2, ... ist bekannt:

und

für alle .
Es ist zu beweisen, daß alle Glieder dieser Folge Quadratzahlen sind.

Ich komme da nicht weiter! Brauch dringend eure Hilfe!


Bestimme erstmal die ersten Folgenglieder, also
 
 
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
das geht ja eigentlich nicht, da ich ja theoretisch nicht a(n+1) bzw. a(n+2) kenne, also müsst ich ja von einer quadratischen folge ausgehen
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
das geht ja eigentlich nicht, da ich ja theoretisch nicht a(n+1) bzw. a(n+2) kenne, also müsst ich ja von einer quadratischen folge ausgehen


Du hast


Nun ist für n=1 :


oder

Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Vielleicht ist die Rekursion übersichtlicher, wenn man n+2 durch m ersetzt, n+1 dann durch m-1 u. s. w.

estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ok, das habe ich kapiert und jetzt, wie beweise ich das a(n+2) eine quadratzahl ist
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Hallo,

Vielleicht ist die Rekursion übersichtlicher, wenn man n+2 durch m ersetzt, n+1 dann durch m-1 u. s. w.



__________________
...

dazu: wir hatten noch gar nichts mit folgen, ich habe gerade erst angefangen zu studieren, wir haben gerade Aussagelogik und mengenlehre, und diese aufgabe war dazu
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
a(n+2)= (n+1)² gilt ja, muss ich jetzt eigenlich nur beweisen, dass n+1 eine natürlich Zahl ist, das sie ja ist, da n eine ist und 1 auch

geht das als beweis durch?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Der Zusammenhang



bzw.



ist natürlich gerade zu zeigen!
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
und genau da habe ich ein Problem, wie zeige ich das????
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
a(n+2)= (n+1)² gilt ja, muss ich jetzt eigenlich nur beweisen, dass n+1 eine natürlich Zahl ist, das sie ja ist, da n eine ist und 1 auch

geht das als beweis durch?


nein, das wäre ein beweis, dass die folge natürliche zahlen enthält

und

gilt NICHT

es ist zB.



Hast du schon einmal etwas von Induktion gehört?
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich sehe gerade, dass diese Regel gar nicht allgemein gilt, gerade mal bis a4.
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von MLRS
Zitat:
Original von estrella28
a(n+2)= (n+1)² gilt ja, muss ich jetzt eigenlich nur beweisen, dass n+1 eine natürlich Zahl ist, das sie ja ist, da n eine ist und 1 auch

geht das als beweis durch?


nein, das wäre ein beweis, dass die folge natürliche zahlen enthält

und

gilt NICHT

es ist zB.



Hast du schon einmal etwas von Induktion gehört?



von Induktion habe ich schon mal, was von gehört, jetzt habe ich gar keine idee mehr
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28

von Induktion habe ich schon mal, was von gehört, jetzt habe ich gar keine idee mehr


Dann empfehle ich dir, dich auf diesem Gebiet (wieder) schlau zu machen

In welchem Zusammenhang hast du diese Aufgabe gestellt bekommen?
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ich weiß wie Induktion funktioniert, aber ich habe keine idee wie ich das hier verwenden soll

Wir haben ein bisschen Aussagelogik und Mengenlehre gemacht, und Arten von Beweisen, Induktion bisher nur in zusammenhang mit summenformeln
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
ich weiß wie Induktion funktioniert, aber ich habe keine idee wie ich das hier verwenden soll

Wir haben ein bisschen Aussagelogik und Mengenlehre gemacht, und Arten von Beweisen, Induktion bisher nur in zusammenhang mit summenformeln


Hier das gleiche Prinzip, allerdings musst du erst eine Vermutun aufstellen, die du beweisen kannst...

Dazu solltest du dir die ersten Folgenwert ansehen
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ich habe keine idee, kannst du mir nicht da einen tipp geben, ich komme einfach nicht drauf, der erste folgewert ist 1, der zweite ist 1 der dritte ist 4, ich sehe keinen zusammenhang, bitte: ich bin schon am verzweifeln
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
ich habe keine idee, kannst du mir nicht da einen tipp geben, ich komme einfach nicht drauf, der erste folgewert ist 1, der zweite ist 1 der dritte ist 4, ich sehe keinen zusammenhang, bitte: ich bin schon am verzweifeln


mit einem berechneten Wert kann man keine Vermutung aufstellen...



Jetzt solltest du zumindest eine vermutung aufstellen können
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von MLRS
Zitat:
Original von estrella28
ich habe keine idee, kannst du mir nicht da einen tipp geben, ich komme einfach nicht drauf, der erste folgewert ist 1, der zweite ist 1 der dritte ist 4, ich sehe keinen zusammenhang, bitte: ich bin schon am verzweifeln


mit einem berechneten Wert kann man keine Vermutung aufstellen...



Jetzt solltest du zumindest eine vermutung aufstellen können


ja ich weiß zu beispiel gibt die wurzel aus a1 + die wurzel aus a2 die wurzel aus a3 , wie drücke ich das allgemein aus?
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
ja ich weiß zu beispiel gibt die wurzel aus a1 + die wurzel aus a2 die wurzel aus a3 , wie drücke ich das allgemein aus?


Das stimmt, allerdings brauchen wir eine explizite Definition, eine rekursive haben wir schon Augenzwinkern

Schau dir mal die Zahlen auf der rechten seite (ohne das ²) an...die sollten dir bekannt vorkommen
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ist das nicht die fibonacci folge oder so?
was bedeutet rekursiv?
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
ist das nicht die fibonacci folge oder so?


stimmt

Zitat:
Original von estrella28was bedeutet rekursiv?

rekursiv ist zB. die Definition aus der Angabe.. a_n wird durch vorhergehende Werte ausgedrückt

explizit heißt, dass man a_n berechnen kann, ohne vorhergehende folgenglieder zu kennen

+++

also du kennst die Fibonacci-Folge. Wie ist sie definiert und in welchem Zusammenhang könnten sie mit der Aufgabe stehen?
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ich habe davon mal gehört, aber noch nie behandelt, wir haben sowas nie in der schule gemacht und ich habe gerade angefangen zu studieren, wo wir auch noch keine folgen behandelt haben. Kannst du mir das vielleicht einfach erklären?
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
ich habe davon mal gehört, aber noch nie behandelt, wir haben sowas nie in der schule gemacht und ich habe gerade angefangen zu studieren, wo wir auch noch keine folgen behandelt haben. Kannst du mir das vielleicht einfach erklären?


Dann wundert es mich, dass dir diese Aufgabe gestellt wurde...naja

Die Fibonacci-Folge ist so definiert:



also jedes Folgenglied ist einfach die Summe aus den beiden vorhergehenden Folgengliedern.

(Es gibt auch eine explizite Darstellung, die macht das ganze aber nur komplizierter)


Zurück zur Aufgabe:

Du schreibst dir jetzt die ersten Fibonacci-Zahlen auf und vergleichst sie mit der Liste oben
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge, nur wie kann ich jetzt daraus einen allgemeinen Beweis führen, dass diese Zahlen in "meiner" Folge Quadratzahlen sind????
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge, nur wie kann ich jetzt daraus einen allgemeinen Beweis führen, dass diese Zahlen in "meiner" Folge Quadratzahlen sind????


Wenn du das beweisen kannst, was du behauptest
("die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge")
,dann hast du damit automatisch bewiesen, dass alle Zahlen Quadratzahlen sind...du hast sogar mehr bewiesen als nötig war

Schreib deine Vermutung auf und formuliere dann einen Induktionsbeweis.
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ja und da ergibt sich das nächste Problem: wie soll ich wurzel a(n) = wurzel a(n-1) + wurzel a(n-2)
mit induktion beweisen, wir haben das bis jetzt nur mit den summenzeichen gemacht ???
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
ja und da ergibt sich das nächste Problem: wie soll ich wurzel a(n) = wurzel a(n-1) + wurzel a(n-2)
mit induktion beweisen, wir haben das bis jetzt nur mit den summenzeichen gemacht ???


Du hast doch oben schon geschrieben:

"die Zahlen "meiner" Folge sind die Quadrate der Zahlen der Fibonacci Folge"

also lautet die Vermutung:



nun zur induktion:

den induktionsanfang hab ich für die ersten 7 zahlen bereits gemacht.
die induktionsvoraussetzung (oder wie auch immer ihr das nennt) ist

du sollst im induktionsschritt zeigen, dass

dann bist ud fertig
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
ja weiß ich, aber ich weiß nicht wie genau ich zeigen kann das a(n+1) = F²(n+1)
weil wir bis jetzt nichts mit n im index gemacht haben
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
ja weiß ich, aber ich weiß nicht wie genau ich zeigen kann das a(n+1) = F²(n+1)
weil wir bis jetzt nichts mit n im index gemacht haben


dann hat die ganze Aufgabe wenig sinn...

damit das ganze aber nicht umsonst war:



Damit ist gezeigt, dass die Zahlen deiner Folge die Quadrate der Fibonacci-Zahlen sind.
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
was bedeutet <\br>
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
Zitat:
Original von estrella28
was bedeutet <\br>


Was meinst du?

Was macht man mit 16 an der Uni?
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Quadratzahl ---> brauche dringend Hilfe
erstens bin ich 19 und nicht 16, zweitens kann die Induktion irgendwie nicht nachvollziehen, würde es dir viel mühe machen, mir schritt für schritt zu erklären??
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Das <\br> erscheint bei manchen Browsern, wenn man im Formeleditor einen Zeilenumbruch macht. Deswegen lieber den Editor jeweils neu aufrufen @ MLRS

Ein Hinweis noch wegen der vollständigen Induktion:

Das ist keine „klassische“ Induktion, wo man von n auf n+1 schließt, sondern „starke Induktion“: Man setzt voraus, dass die Aussage für alle m < n gilt und muss dann die Richtigkeit für n zeigen (bzw.: Man setzt die Richtigkeit für alle Zahlen kleinergleich n voraus und zeigt die Richtigkeit für n+1). Ein Induktionsanfang ist in dem Fall übrigens nicht nötig.
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »

kann mir einer bitte schritt für schritt diese Induktion erklären, ich verstehe das echt nicht, ich weiß nicht wie man überhaupt auf die Ausgangsgleichung kommt
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
Das <\br> erscheint bei manchen Browsern, wenn man im Formeleditor einen Zeilenumbruch macht. Deswegen lieber den Editor jeweils neu aufrufen @ MLRS

Ein Hinweis noch wegen der vollständigen Induktion:

Das ist keine „klassische“ Induktion, wo man von n auf n+1 schließt, sondern „starke Induktion“: Man setzt voraus, dass die Aussage für alle m < n gilt und muss dann die Richtigkeit für n zeigen (bzw.: Man setzt die Richtigkeit für alle Zahlen kleinergleich n voraus und zeigt die Richtigkeit für n+1). Ein Induktionsanfang ist in dem Fall übrigens nicht nötig.


Danke für die Information und Ergänzung smile

@estrella: In welchem Zusammenhang hast die diese Afgabe bekommen? Übung zur Vorlesung?
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »

ja kleine Übung, die man dort vorstellen muss
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von estrella28
ja kleine Übung, die man dort vorstellen muss


Du verstehst, wie man auf die Vermutung kommt und warum diese beweist, dass jedes Folgenglied eine Quadratzahl ist?

Du verstehst, wie man eine klassische Induktion macht?

Du verstehst, wie man einen Induktionsbeweis in diesem Beispiel macht?
estrella28 Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe alles bis auf das letztere, den induktionsbeweis von dir habe ich nicht verstanden, tut mir leid, für mich ist alles neu
MLRS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von estrella28
ich verstehe alles bis auf das letztere, den induktionsbeweis von dir habe ich nicht verstanden, tut mir leid, für mich ist alles neu


also gut

Vermutung ist aufgestellt, das Vorwissen ist:

und

Nun setzen wir voraus, dass für alle gilt:


Daraus wollen wir

folgern

Soweit klar?

Wenn ja, schau dir nochmal an, was ich auf Seite 2 unten geschrieben hab
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »