Vollständige Induktion von Summen - Aufgabe

25.10.2009, 15:18	Sonic144	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion von Summen - Aufgabe an alle Betrachter Ich habe folgendes Problem: Ich soll die vollständige Induktion bei $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~i(i+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} \end{eqnarray}$ durchführen. Meine bis jetzt funktionierende Schritte: 1) Beweis der Gültigkeit der Formel für n0 = 1 (die Null bei dem n soll ein Index sein) $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~1(1+2) = \frac{1(1+1)(2 1+7)}{6} \end{eqnarray}$ 3 = 3 2) Annahme: Sei n >= 1 so gilt: A) $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n+1}~i(i+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} + (n+1) \end{eqnarray}$ B) $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n+1}~i(i+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)+ 6(n+1)}{6} \end{eqnarray}$ So ab diesem Schritt komme ich nicht weiter, da ich wahrscheinlich irgendeinen Fehler eingebaut habe, den ich bei meinen Umformungen nicht gefunden habe. Nach dem ich schon seit einigen Stunden hier dran sitze, erhoffe ich hier Hilfe zu bekommen! Ich versuche hier die Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)(2n+7)}{6} + (n+1) \end{eqnarray}$ zu dieser umzuformen: $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)(n+2)(2n+7)}{6} \end{eqnarray*}$ Dies will mir aber anscheinend nicht gelingen!
25.10.2009, 15:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du isolierst bei 2A den letzten Summanden, und das falsch. Der letzte Summand der Summe laute: $\begin{eqnarray} (n+1)((n+1)+2) \end{eqnarray}$
25.10.2009, 15:38	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion von Summen - Aufgabe Du solltest 1. den Induktionsanfang n=0 nehmen, was dann die leere Summe ergibt, welche den Wert 0 hat (=läßliche Sünde) 2. für den Schluss von n auf n+1 den richtigen Wert zur n-ten Summe, nämlich (n+1)(n+3) addieren (=Todsünde ) Edit: Sorry, zu spät, was den eigentlichen Fehler betrifft...
25.10.2009, 17:56	Sonic144	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem gelöst Danke für die schnellen Antworten!!!

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