Klammersetzung bei der Integralrechnung

25.10.2009, 15:20

Muffin21

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Klammersetzung bei der Integralrechnung

Wieso müssen, z.B. bei diesem Integral
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int~(2x^3+4x^2+3x+1)\dx \end{eqnarray*}$
die Klammern gesetzt werden?
Das Integralzeichen und das $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ reichen doch als Begrenzung der Funktion aus, sprich: Alles was dazwischen steht, wird integriert.

Ich versteh es ja in manchen, in der Physik üblichen Schreibweisen, wie z.B.
$\begin{eqnarray*} s(t)=\int\dd t~v(t)=\int\dd t~(a\cdot t+v_0) \end{eqnarray*}$

Aber in ersterem Fall versteh ich nicht, warum das so sein muss. Mir wurden in einer Klausur Punkte abgezogen, weil ich auf die Klammern verzichtet hab und bin so von eigentlich 15 Punkten auf 13 Punkte gefallen unglücklich

unglücklich

25.10.2009, 15:29

Jacques

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Hallo,

Meiner Meinung nach hast Du absolut Recht. Man kann den Ausdruck ja nur so interpretieren, dass alles zwischen Integralzeichen und dx der Integrand ist. Und wenn die Interpretation eindeutig ist, sind Klammern natürlich überflüssig.

Ich habe diese Schreibweise mit Klammern übrigens auch noch niemals gesehen.

25.10.2009, 15:35

Muffin21

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Eigentlich sollte ich mich ja nicht drüber aufregen. Note 1 ist Note 1, aber es geht mir hier ums Prinzip. Meine Lehrerin wollte sich meinen Protest gar nicht erst anhören. Sie meint, wir haben das so gelernt und sie will das so haben. Aus basta. unglücklich

unglücklich

25.10.2009, 15:37

Muffin21

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Jetzt würde mich halt mal interessieren, was andere Mathematiker dazu sagen.

25.10.2009, 15:41

Kopfrechner

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Klammern gehören dazu. Punktabzug kann gerechtfertigt werden.

25.10.2009, 15:54

RS

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Zitat:

Aber in ersterem Fall versteh ich nicht, warum das so sein muss. Mir wurden in einer Klausur Punkte abgezogen, weil ich auf die Klammern verzichtet hab und bin so von eigentlich 15 Punkten auf 13 Punkte gefallen unglücklich

Punktabzug kann gerechtfertigt sein. Was dann mMn aber nicht gerechtfertigt ist, dass man diesen "formalen" Fehler mit mehr als einem Punkt abzug ahndet. (scheint ja so gewesen zu sein weil so schnell kommt man von 15 nicht auf 13 pkt.) Wegen dieses Fakts würde ich mich bei der Lehrerin nochmal sehen lassen. Sie kann ja dein "widersetzen" gegen ihre gelehrte mathematische Notation gerne mit Abzug ahnden, aber nicht so. Außer natürlcih du bist wiederholungstäter^^ (dann ist es zwecks pädagogischen effekts natürlich ok)

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25.10.2009, 16:01

Muffin21

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Es waren insgesamt sechs verschiedene Integrale und jeweils eine halbe Bewertungseinheit Abzug. Insgesamt gab's 24 BE. Damit steh ich bei 87,5 %; das sind dann 13 Punkte.
Ich werd halt dann in Zukunft diese Klammern setzen. Nur hat sie's vorher nich gesagt, dass es zwingend ist und einen wirklich überzeugenden Grund konnte sie mir auch nicht nennen.

25.10.2009, 16:22

RS

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Zitat:

Original von Muffin21
Es waren insgesamt sechs verschiedene Integrale und jeweils eine halbe Bewertungseinheit Abzug.

Ganz ehrlich. Eine Frechheit. Wenn du im ersten integral diesen "Fehler" (ich muss lachen^^) begehst, dann SOLLTE/MUSS die Lehrerin damit rechnen, dass sich diese schreibweise im folgenden nicht mehr ändert/bessert. --> Folgefehler. Einmal Abzug (dann auch berechtigterweise 1BE) und dann is gut.

Du kriegst doch auf falsche ergebnisse (entstanden durch falsche zwischenergebnisse,...) aber richtige rechenwege auch punkte. Im grund ist das analog dazu. Das heißt diese lehrerin müsste dir eigentlich sobald du ein falsches zwischenergebnis hast, alles nachfolgende mit 0 BE bewerten. Tut sie es nicht so ist auch obige vorgehensweise ungerechtfertigt.

Ganz ehrlich ich würde es mal einer 2. 3. meinung (lehrer) vorstellen und dann dem Rückhalt entsprechend agieren.

25.10.2009, 16:49

Jacques

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Zitat:

Original von Kopfrechner

Klammern gehören dazu.

Da würde mich auch mal die Begründung interessieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie gesagt, es ist ja gar keine andere Interpretation denkbar außer

$\begin{eqnarray*} \int 2x^3+4x^2+3x+1\ \dx = \int \left(2x^3+4x^2+3x+1\right)\ \dx \end{eqnarray*}$

Wie sollte man den Ausdruck sonst lesen? Und warum müssen dort Klammern stehen, nicht aber z. B. um das dx? Wenn man 2x³ + 4x² + 3x + 1 nicht als feste Einheit akzeptiert, dann dürfte man das doch konsequenterweise bei dx auch nicht machen.

25.10.2009, 17:02

Muffin21

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Erst mal vielen Dank bis hierher. smile

smile

Ich werde morgen einfach eine weitere Protestwelle starten. Besonders wegen der von RS angesprochenen Sache mit den Folgefehlern. Wenn es nichts hilft (darauf wird's wohl hinauslaufen unglücklich

unglücklich

) wende ich mich an die Fachschaft und zur Not an den Rektor, der ist nämlich auch ein Mathelehrer.

25.10.2009, 17:10

RS

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tu es

Augenzwinkern

viel glück!

25.10.2009, 20:12

Abakus

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RE: Klammersetzung bei der Integralrechnung

Zitat:

Original von Muffin21
Wieso müssen, z.B. bei diesem Integral
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int~(2x^3+4x^2+3x+1)\dx \end{eqnarray*}$
die Klammern gesetzt werden?
Das Integralzeichen und das $\begin{eqnarray*} \dx \end{eqnarray*}$ reichen doch als Begrenzung der Funktion aus, sprich: Alles was dazwischen steht, wird integriert.

Zwischen dem Integranden und dem dx steht ein Mal " $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ ", d.h. da wird etwas multipliziert. Daher müssen die Klammern da stehen (sonst würde sich das dx nur auf die 1 beziehen). Das dx ist nicht nur eine Begrenzung, sondern gehört zum Ausdruck dazu.

Zitat:

Ich versteh es ja in manchen, in der Physik üblichen Schreibweisen, wie z.B.
$\begin{eqnarray*} s(t)=\int\dd t~v(t)=\int\dd t~(a\cdot t+v_0) \end{eqnarray*}$

Das ist noch schlimmer, bitte nicht so.

Zitat:

Aber in ersterem Fall versteh ich nicht, warum das so sein muss. Mir wurden in einer Klausur Punkte abgezogen, weil ich auf die Klammern verzichtet hab und bin so von eigentlich 15 Punkten auf 13 Punkte gefallen unglücklich

unglücklich

Es ist definitiv falsch. Ich finde allerdings, dass es reicht, einmal etwas abzuziehen und es dann dabei zu belassen ("formaler Fehler, der sich durchzieht"). Ein Folgefehler ist es nicht, das wäre zB ein Rechenfehler in der Mitte, der dann bei allen weiteren Rechnungen (obwohl richtig) dann zu falschen Ergebnissen führt.

Grüße Abakus smile

smile

25.10.2009, 21:43

Kopfrechner

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RE: Klammersetzung bei der Integralrechnung
Hallo miteinander,

ohne Klammern treten Probleme z.B. beim Umgang mit Substitutionen auf.

Beisp: $\begin{eqnarray*} \int (x^2+2x)\dx \end{eqnarray*}$ ; Substitution u=2x ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int (x^2+2x)\dx = \int (\frac{u^2}{4}+u) \cdot \frac{1}{2}\,du \end{eqnarray*}$

Jetzt das ganze ohne Klammern:
$\begin{eqnarray*} \int x^2+2x\dx = \int \frac{u^2}{4}+u \cdot \frac{1}{2}\,du \end{eqnarray*}$

Weitere Probleme tauchen beim Umgang mit Differenzialen und Dgl auf ...

Wenn man sich nur auf "elementare" Integralrechnung mit Summentermen beschränkt, könnte man vielleicht eine Vereinbarung treffen, dass Klammern entbehrlich sind, gerät eine Stufe weiter aber in Probleme. Nicht ohne Grund schreiben die mir vorliegenden Bücher die Klammern immer brav mit.

Gruß, Kopfrechner

26.10.2009, 10:27

Jacques

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Die fehlenden Klammern scheinen aber doch dann vor allem – ausschließlichlich? – bei pragmatischen Rechenregeln, Kurzschreibweisen u. ä. Probleme zu geben, aber nicht bei der exakten Definition des Integrals.

Wenn man eine strenge Definition zugrunde legen will, kann man das Integral doch nur als festen Ausdruck lesen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\Box}^{\Box} \Box \ \mathrm{d}\Box \end{eqnarray*}$

(die Kästchen sind die Leerstellen)

Also das Integral ist dann keine Pseudo-Produktsumme von „unendlich kleinen Differentialen“ dx – was auch immer das sein soll –, sondern ein abstrakter Operator. Und die einzig mögliche Interpretation eines Ausdrucks

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \ldots x \ldots \ \dx \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \big( \ldots x \ldots \big) \ \dx \end{eqnarray*}$

Oder anders formuliert: Bei einer exakten Definition ist ein Integral kein aus mehreren Bestandteilen (z. B. dx) zusammengesetzter Ausdruck, bei dem unter Umständen Klammern zur Gliederung der Bestandteile nötig ist. Sondern der ganze Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} \textstyle{\int} \end{eqnarray*}$ ;, dx u. s. w. ist eine feste Schablone.

Wie gesagt, sobald Kurzschreibweisen, „saloppe“ Rechnungen (Rechnen mit dx o. ä.) ins Spiel kommen, dann sind die Klammern offensichtlich wirklich nötig. Aber wenn man einen strengen formalen Standpunkt vertritt, dann bringen die Klammern bestenfalls als Verzierung etwas, aber notwendig sind sie auf gar keinen Fall.

Nur noch als letztes Beispiel:

Man schreibt auch

$\begin{eqnarray*} f\colon\, x \mapsto 4x^2 + 16x \qquad x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und nicht

$\begin{eqnarray*} f\colon\, x \mapsto \left( 4x^2 + 16x \right)\qquad x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Einfach weil der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \Box\colon\, \Box \mapsto \Box \qquad \Box \in \Box \end{eqnarray*}$

eine feste Einheit ist und gar keine andere Interpretation als die obige möglich ist.

26.10.2009, 16:13

Muffin21

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Huh,

geschockt

da hab ich ja einen richtigen Streit entfacht Ups

Ups

Hab heute bei der Fachschaft Mathematik "vorgesprochen", aber da ich morgen kein Mathe hab, kann ich euch erst am Mittwoch vom evtl. (Miss-)Erfolg berichten.

26.10.2009, 20:41

jester.

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Und m.E. können solche Substitutionsunfälle, wie von Kopfrechner beschrieben, auch nur passieren, wenn man nicht weiß, was man tut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2009, 12:39

Muffin21

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Juhu, doch noch 15 Punkte smile

smile

Der Fachbetreuer überzeugte meine Lehrerin von dem von RS beschriebenen Weg: einmalig 1 BE Abzug. Das macht jetzt 23 von 24 BE und das sind gerade noch die 15. In Zukunft muss ich mich halt dann an ihre Notationswünsche halten unglücklich

unglücklich

Hoffentlich wird das auf der Uni nicht genauso schlimm...
Vielen Dank euch allen, Gruß

28.10.2009, 13:28

Leopold

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Zitat:

Original von Jacques
Also das Integral ist dann keine Pseudo-Produktsumme von „unendlich kleinen Differentialen“ dx – was auch immer das sein soll –, sondern ein abstrakter Operator. Und die einzig mögliche Interpretation eines Ausdrucks

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \ldots x \ldots \ \dx \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \big( \ldots x \ldots \big) \ \dx \end{eqnarray*}$

Oder anders formuliert: Bei einer exakten Definition ist ein Integral kein aus mehreren Bestandteilen (z. B. dx) zusammengesetzter Ausdruck, bei dem unter Umständen Klammern zur Gliederung der Bestandteile nötig ist. Sondern der ganze Ausdruck mit $\begin{eqnarray*} \textstyle{\int} \end{eqnarray*}$ ;, dx u. s. w. ist eine feste Schablone.

Man könnte am Anfang seines Studiums diesen Eindruck bekommen. Historisch gesehen, aber auch im Kalkül der alternierenden Differentialformen zeigt sich, daß diese Vorstellung nicht genügt. Es wird nämlich streng genommen nicht über eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ integriert (wie Jacques das sieht), sondern über eine Differentialform $\begin{eqnarray*} \omega = f(x) \cdot \dd x \end{eqnarray*}$ . Da es sich hier um ein Produkt handelt, gehören Summen auch geklammert. Überall sonst in der Mathematik wird das so gehandhabt - und das liegt schlicht an der Regel "Punkt vor Strich". Und genau so ist das auch hier zu machen.
Welche Unfälle passieren können, wenn man sich nicht daran hält, dazu hat Kopfrechner ein instruktives Beispiel gegeben.

Daß viele, auch prominente und kompetente Vertreter des MatheBoards permanent gegen diese Regel verstoßen, heißt noch nicht, daß das der mathematischen Ordnung entspricht. (Wer mit 65 km/h durch die Ortschaft fährt, mag sich auch darauf berufen, daß das doch beinahe jeder so macht und auch im allgemeinen kein Schaden entsteht, ja sogar für einen besseren Verkehrsfluß gesorgt wird. Es bleibt dennoch ein Verstoß gegen die Straßenverkehrsordnung.)

28.10.2009, 14:34

Jacques

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Danke für die gute Erklärung – und die Aufklärung meines Missverständnisses. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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