Konvergenzkreis

25.10.2009, 17:17

Nani

Konvergenzkreis

Guten Abend miteinander!

Ich bin bei der Bestimmung des Konvergenzkreises von:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{x^k}{\sqrt[3]{k} } \end{eqnarray*}$

Durch Anwendung des Quotientenkriteriums habe ich folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{k \to \infty} | \frac{\sqrt[3]{k} \cdot x}{\sqrt[3]{k+1} } | = x < 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < \liminf_{k \to \infty} | \frac{\frac{x^k}{\sqrt[3]{k} } }{\frac{x^{k+1}}{\sqrt[3]{x+1} } } | = \frac{1}{x} = r \end{eqnarray*}$

Ist die Aufgabe richtig gelöst, wenn ich als Lösung angebe:
$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{x} | < 1 \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 17:32

Romaxx

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Das $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ gehört nicht in die Formel für die Berechnung des Konvergenzradius.

Schau dir diese noch einmal genau an.

Gruß

25.10.2009, 17:32

Duedi

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Du hast die Definition nicht richtig angewandt. Die Formel für den Konvergenzradius ist
$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg| \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ der Koeffizient vor dem Faktor $\begin{eqnarray*} (x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ ist.
In deiner Formel darf also kein x auftauchen.

EDIT: zu spät smile

25.10.2009, 17:49

Nani

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RE: Konvergenzkreis
Ich korrigiere:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{x^k}{\sqrt[3]{k} } \end{eqnarray*}$

Durch Anwendung des Quotientenkriteriums habe ich folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{k \to \infty} | \frac{\sqrt[3]{k} }{\sqrt[3]{k+1} } | = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x < \liminf_{k \to \infty} | \frac{\frac{1^k}{\sqrt[3]{k} } }{\frac{1^{k+1}}{\sqrt[3]{k+1} } } | = 1 = r \end{eqnarray*}$

Der Radius ist also 1.
Wie gibt man nun das Ergebnis richtig wieder?
So: (1,1) ?

25.10.2009, 17:53

Romaxx

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Für |x|< 1 konvergiert die Potenzreihe.

Oder R=1 ist Konvergenzradius.

Gruß

25.10.2009, 19:57

Nani

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Stimmt es, dass bei

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{x^k}{k^3 + 1} \end{eqnarray*}$
der Radius wieder 1 ist, und die Potenzreihe für |x| < 1 konvergiert?

(ich schreibe die Rechnung vorerst nicht auf, da ihr viel schneller seid - ausser das Ergebnis stimmt nicht - dann schreibe ich sie natürlich gerne hin..)

25.10.2009, 20:02

Romaxx

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Ja.

25.10.2009, 20:27

Nani

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Noch ein letzter Check: smile

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{k \cdot 3^k}{k^2 + 1}x^k \end{eqnarray*}$

hat Konvergenzradius (1/3) und die Potenzreihe konvergiert für |x| < 3.

Richtig?

26.10.2009, 09:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nani
hat Konvergenzradius (1/3) und die Potenzreihe konvergiert für |x| < 3.

Ohne einen Blick auf die Reihe zu werfen, ist klar, daß diese Aussage in sich widersprüchlich ist.

26.10.2009, 10:21

Nani

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Stimmt, du hast recht! Also, nun mit einem Blick auf die Reihe: Konvergenzradius = (1/3) , die Potenzreihe konvergiert für |x| <(1/3)

26.10.2009, 10:35

klarsoweit