Implikation - "Nicht notwendig"

25.10.2009, 17:36

sprungfeld

Implikation - "Nicht notwendig"

Eine Frage zur Implikation.

Nehmen wir mal die folgende Implikation: $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$

Das bedeutet dann, dass die Aussage A hinreichend für die Aussage B ist. Flappsig würde ich es so formulieren: wenn die Aussage A wahr ist, dann folgt sofort, dass die Aussage B auch wahr ist, damit die Gesamtaussge $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ stimmt.

Umgekehrt ist die Aussage B hinreichend für die Aussage A. Hier würde ich flappsig sagen: selbst wenn B erfüllt ist, kann A wahr oder falsch sein, und $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall wahr.

Jetzt meine Frage: Was bedeutet es, wenn eine Aussage A "nicht notwendig" ist?
Bedeutet das $\begin{eqnarray*} B\nRightarrow A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ oder etwas ganz anderes? ? Ich rätsele da schon seit ner Zeit rum, kann mir das aber irgendwie nicht herleiten bzw. nichts scheint mir wirklich logisch.

25.10.2009, 17:45

Jacques

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RE: Implikation - "Nicht notwendig"

Zitat:

Original von sprungfeld

Umgekehrt ist die Aussage B hinreichend für die Aussage A. Hier würde ich flappsig sagen: selbst wenn B erfüllt ist, kann A wahr oder falsch sein, und $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall wahr.

Deswegen ist B ja gerade nicht hinreichend für A, denn aus A folgt nicht unbedingt B. Sondern B ist notwendig für A, d. h., ist B falsch, dann ist in jedem Fall auch A falsch.

Zitat:

Original von sprungfeld

Jetzt meine Frage: Was bedeutet es, wenn eine Aussage A "nicht notwendig" ist?
Bedeutet das $\begin{eqnarray*} B\nRightarrow A \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ oder etwas ganz anderes? ? Ich rätsele da schon seit ner Zeit rum, kann mir das aber irgendwie nicht herleiten bzw. nichts scheint mir wirklich logisch.

Ich würde „A ist nicht notwendig für B“ einfach als „es ist nicht der Fall, dass A notwendig für B“ verstehen, also als Negation:

$\begin{eqnarray*} \neg (B \Rightarrow A) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} B \wedge \neg A \end{eqnarray*}$

25.10.2009, 18:28

sprungfeld

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Hm, danke Jacques.

Das hieße dann, dass ich - um zu zeigen, dass die Aussage A nicht notwendig ist - zeigen müsste, dass die Aussage A falsch ist (da $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ wahr ist) und die Aussage B wahr ist?

25.10.2009, 18:33

Jacques

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Das stimmt. Vorausgesetzt natürlich, das „nicht notwendig“ ist so gemeint wie oben vermutet (müsste es!).

Übrigens: „notwendig“, „hinreichend“, „nicht notwendig“ u. s. w. bezieht sich natürlich immer auf eine zweite Aussage. Also A ist notwendig/hinreichend ... für eine weitere Aussage B.

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