Beweis durch Induktion, aber tricky!

25.10.2009, 19:01

Godric

Beweis durch Induktion, aber tricky!

Hi, seit einer Woche habe ich nun auch Mathematik an der Uni :P Wir haben bereits viele Beweise durch vollständige induktion berechnet. Jedoch stoße ich hier an meine derzeitigen Grenzen, da ich den Induktionsschritt nicht sauber hinbekomme, da sich bei jedem Durchlauf der Summe die Potenz von y um 1 erhöht jedoch die potenz von x um eins vermindert. Viele meiner Ansätze stellten sich als nicht nützlich heraus. Wie drücke ich das im Induktionsschritt aus? Über eine Hilfestellung wäre ich sehr sehr dankbar.

zu beweisen ist:
$\begin{eqnarray*} y^{n}-x^{n} =(y-x)\cdot \sum_{i=0}^{n-1}~y^{i}\cdot x^{n-1-i} \end{eqnarray*}$

danke schonmal im vorraus!!!!

25.10.2009, 19:10

MLRS

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RE: Beweis durch Induktion, aber tricky!

Zitat:

Original von Godric
Hi, seit einer Woche habe ich nun auch Mathematik an der Uni :P Wir haben bereits viele Beweise durch vollständige induktion berechnet. Jedoch stoße ich hier an meine derzeitigen Grenzen, da ich den Induktionsschritt nicht sauber hinbekomme, da sich bei jedem Durchlauf der Summe die Potenz von y um 1 erhöht jedoch die potenz von x um eins vermindert. Viele meiner Ansätze stellten sich als nicht nützlich heraus. Wie drücke ich das im Induktionsschritt aus? Über eine Hilfestellung wäre ich sehr sehr dankbar.

zu beweisen ist:
$\begin{eqnarray*} y^{n}-x^{n} =(y-x)\cdot \sum_{i=0}^{n-1}~y^{i}\cdot x^{n-1-i} \end{eqnarray*}$

danke schonmal im vorraus!!!!

du willst zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} y^{n+1}-x^{n+1} =(y-x)\cdot \sum_{i=0}^{n}~y^{i}\cdot x^{n-i} \end{eqnarray*}$

schreibe beim Induktionsschritt

$\begin{eqnarray*} x^{n+1}-y^{n+1} \end{eqnarray*}$
als
$\begin{eqnarray*} (x^{n+1}-xy^{n})+(xy^n-y^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Dann herausheben, IV benutzen und dann sollte das klappen Augenzwinkern

25.10.2009, 23:50

Godric

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RE: Beweis durch Induktion, aber tricky!
hmmmm dein umformungsschritt verstehe ich aber wie sieht der Induktionsschritt genau aus? ich komm irgendwie wirklich nicht drauf...

y^n-x^n+(...)=y^(n+1)-x^(n+1) wenn jemand mir was für ... einsetzen könnte, wäre ich über über glücklich... den rest schaff ichd ann schon alleine :P

Danke trotzdem für deine Zeit und Mühe!

26.10.2009, 00:12

Godric

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RE: Beweis durch Induktion, aber tricky!
ich habe nun, durch vergleich der Änderungen der Fälle n=2,3 und 4 einen Induktionsschritt gefunden, dieser lautet:
$\begin{eqnarray*} (y^{n} - x^{n})*x+y^{n}(y-x)=...=y^{n+1} -x^{n+1} \end{eqnarray*}$

ich glaube nicht, dass man das so amchen darf.... wie komme ich a) leichter darauf und b) wie würde formal erwartet werden?

26.10.2009, 08:41

Jacques

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Hallo,

M. E. gibt es noch ein generelles Verständnisproblem (eventuell bei dem Prinzip der Induktion?).

Dass

$\begin{eqnarray*} (y^n - x^n)x + y^n(y - x) = y^{n+1} - x^{n+1} \end{eqnarray*}$

gilt, folgt einfach durch Termumformung! Multipliziere nach dem Distributivgesetz aus, dann hebt sich xy^n - xy^n weg, und übrig bleibt y^(n+1) - x^(n+1).

Das ist aber auch überhaupt nicht das, was bewiesen werden soll, sondern das war ein Beweisansatz von MLRS.

Zu beweisen ist, wie MLRS schon gesagt hat:

$\begin{eqnarray*} y^{n+1}-x^{n+1} =(y-x)\cdot \sum_{i=0}^{n}~y^{i}\cdot x^{n-i} \end{eqnarray*}$

Benutzen darfst Du:

$\begin{eqnarray*} y^{n}-x^{n} =(y-x)\cdot \sum_{i=0}^{n-1}~y^{i}\cdot x^{n-1-i} \end{eqnarray*}$

Jetzt hat MLRS als Ansatz vorgeschlagen:

$\begin{eqnarray*} y^{n+1} - x^{n+1} = (y^n - x^n)x + y^n(y - x) \end{eqnarray*}$

Wende die Induktionsvoraussetzung für y^n - x^n an und forme dann immer weiter um, bis Du letztendlich auf

$\begin{eqnarray*} y^{n+1}-x^{n+1} = \ldots = (y-x)\cdot \sum_{i=0}^{n}~y^{i}\cdot x^{n-i} \end{eqnarray*}$

kommst.

26.10.2009, 12:02

Godric

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ok danke sehr, jetzt ist mir das klarer geworden, versuche gleich mal, ob ich es hinbekomme!!!

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