Goniometrische Gleichung

25.10.2009, 19:16

Flipper

Goniometrische Gleichung

Edit (mY+): Bitte verwende signifikante Titel. Modifiziert.

Hallo miteinander
ich hätte eine frage zu einer Gleichung

3sin(2x)=5tanx (nur Hauptwerte angeben d.h Werte zw. 0 und 2pi)

Man löst die Gleichung auf und ich erhalte:

sinx(6cos²x-5)=0

also ist sinx = 0 und 6cos²x-5=0

daraus erhalte ich x=arccos Wurzel aus 5/6
x = ca. 24,1 °

Meine Frage ist nun was ich mit diesem Wert machen muss um auf die folgenden Lösungen zu kommen.

Die Lösungen sind
x1=0
x2=pi
x3=0,421
x4=5,863
x5=2,721
x6=5,844

Danke im voraus

25.10.2009, 22:22

Mystic

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Die ersten 2 Lösungen sind Nullstellen von sin x. Die weiteren Lösungen sind Nullstellen von

$\begin{eqnarray*} 6 \cos^2x-5 \end{eqnarray*}$

also dann

$\begin{eqnarray*} \pm \arccos \sqrt {\frac 56} +k \pi \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} k \in \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ so gewählt wird, dass das Ergebnis im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2 \pi) \end{eqnarray*}$ liegt, was dann die 4 weiteren Möglichkeiten ergibt, die jedoch in einem Fall, nämlich x6, nicht mit deinen vorgegebenen Lösungen übereinstimmen, kA warum...

Und ja, TR auf Bogenmaß umstellen...

26.10.2009, 09:33

Flipper

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oh sry x6 ist 3,562 , zeilenvertauscht :|
jo danke also das mit sinus ist mir nun klar aber bei cos bekomme ich nur den x3 und x4 wert raus.

ich muss doch nun:
arccos wurzel aus (5/6)+0*pi = 0,4205
arccos wurzel aus (5/6)+1*pi = 3,562
arccos wurzel aus (5/6)+2*pi = 6,703

und der letzte wert passt ja nicht überein das verstehe ich noch nicht so ganz

ah habe gerade geshene dass du +/- geschrieben hast, daraus erhalte ich dann meine anderen Werte. Aber wieso +/- ich habe doch keien pq formel angewandt??

26.10.2009, 09:39

Mystic

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Muss mich hier selber zitieren, nämlich

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} \pm \arccos \sqrt {\frac 56} +k \pi \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} k \in \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ so gewählt wird, dass das Ergebnis im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2 \pi) \end{eqnarray*}$ liegt...

Wie ist es, erfüllt 6,703 obige Bedingung? verwirrt

Wegen der " $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ -Werte", wenn gilt

$\begin{eqnarray*} \cos x = \sqrt{\frac 56} \end{eqnarray*}$

dann auch automatisch

$\begin{eqnarray*} \cos (-x) = \sqrt{\frac 56} \end{eqnarray*}$

weil der cos eine gerade Funktion ist...

26.10.2009, 12:57

Flipper

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achso besten dank Augenzwinkern

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