n-fache Differenzierbarkeit einer Funktion

25.10.2009, 20:26

Bakatan

n-fache Differenzierbarkeit einer Funktion

$\begin{eqnarray*} \text{Zeigen sie: Die durch} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x²}} & \text{für }x\not= 0\\ 0 & \text{für }x=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{gegebene Funktion f ist auf ganz }\mathbb R\text{ beliebig oft differenzierbar und es gilt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(0)=0~\text{für alle }n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Anleitung: Zeigen sie per Induktion, dass}~f^{(n)}(x)=p_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x²}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{mit einem geeigneten Polynom }p_n\text{, und beachten Sie, dass}~\lim_{y\to\infty}y^me^{-y}=0~\text{für }m\in\mathbb N~\text{gilt} \end{eqnarray*}$

Wenn man das hier aufschreibt, kommen einem schon gleich ein paar mehr Ideen.
Das einzige Problem ist die Differenzierbarkeit bei x=0. Es ist aber der Differenzenquotient ( Zwischenbehauptung )
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x}\right) e^{-\frac{1}{x²}}=0 \end{eqnarray*}$ und folglich ist f zumindest einmal differenzierbar, denn durch $\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{x²}}\geq 1+\frac{1}{x²};~e^{-\frac{1}{x²}}<x² \end{eqnarray*}$ und folglich:

$\begin{eqnarray*} -|x|<\frac{e^{-\frac{1}{x²}}}{x}<|x|;~x\not= 0 \end{eqnarray*}$ ( Fallunterscheidung für x>0, x<0 ) und somit folgt die Zwischenbehauptung durch den Vergleichssatz

Es ist weiterhin $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}e^{-\frac{1}{x²}}=2\frac{1}{x³}e^{-\frac{1}{x²}}:=p_1\cdot\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x²}} \end{eqnarray*}$ und zusätzlich

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left(p_n\cdot\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x²}}\right)\overset{\text{Produktregel}}{=}\left(\frac{d}{dx}(p_n)-p_n\cdot\left(\frac{1}{x}\right)+p_n\cdot p_1\cdot \left(\frac{1}{x}\right)\right)\cdot \left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x²}}:=p_{n+1}\cdot \left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x²}} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} p_n=\sum_{k=1}^na_k\left(\frac{1}{x}\right)^{k+1} \end{eqnarray*}$ da sich der Grad von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ beim Ableiten oder Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ ( dessen Grad >1 ) ausschließlich erhöht ( gilt für alle $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ durch Induktion )

Jetzt ist mit dem letzten Tipp aus der Angabe jedoch ( spätestens hier frage ich mich, wieso ich jedes mal extra $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert habe )
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}a_k\left(\frac{1}{x}\right)^{k+2}e^{-\frac{1}{x²}}=0,~\text{falls }2\big| k \end{eqnarray*}$

Aber was mache ich jetzt mit den Ungeraden Potenzen? Abgesehen davon schätze ich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich mich verrechnet oder totalen Unfug gebaut habe sehr hoch ein.

27.10.2009, 17:55

Bakatan

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Wenn meine Posts i.a. zu wirr formuliert sind: wo gibts einen Crash-Kurs für Ausdrucksweise? Big Laugh

27.10.2009, 18:10

tigerbine

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Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass imho ein Polynom kein negativen Potenzen von x aufweist. Es ist aber schon für die erste Ableitung, bei der Ableitung der Teilfunktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}e^{-\frac{1}{x²}}=2\frac{1}{x³}e^{-\frac{1}{x²}}:=p_1\cdot\left(\frac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x²}} \end{eqnarray*}$

Was nützt es mir da 1/x auszuklammern? Das behebt das Problem doch nicht.... verwirrt

27.10.2009, 18:25

Leopold

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Da gehört kein Malpunkt hin.
Es ist $\begin{eqnarray*} p_1(t) = 2t^3 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p_1 \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{2}{x^3} \end{eqnarray*}$ .

Es geht also um Polynome in 1/x.

27.10.2009, 18:26

tigerbine

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Aha

27.10.2009, 18:48

Bakatan

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Danke, das erklärt schon mal, was es mit diesem bescheuerten $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ ausklammern auf sich hatte. Das mit $\begin{eqnarray*} y:=\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ ein Polynom erreicht werden kann war mir "klar" ( hoffe ich zumindest. Es kann auch sein, dass bei Polynomen in 1/x ganz komische Dinge passieren, dann wäre es mir nicht klar. Ich denke mal da verändert sich nichts Großartiges zu "normalen" Polygonen? ). Ich kannte aber die Schreibweise $\begin{eqnarray*} p_1\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ nicht, von daher hielt ich es für den Hinweis, es auszuklammern.
Folglich ist bei mir im Originalpost natürlich überall dies ausgeklammert, alle $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ sind aber natürlich Polynome in $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$

Der Rest ist mir aber noch unklar, wie zeige ich nun die Behauptung?

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