Induktionsbeweis für Folge

26.10.2009, 08:00	Viriditas	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis für Folge Hallo Ich muss die Gültigkeit folgender Gleichung für die Fibonacci-Folge beweisen: $\begin{eqnarray} F^{2}_{n} + F_{n} F_{n+1} - F^{2}_{n+1}=(-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ Nun komme ich aber beim Induktionsschluss auf keinen grünen Zeig. Die Gültigkeit soll für n+1 gezeigt werden: $\begin{eqnarray} F^{2}_{n} + F_{n} * F_{n+1} - F^{2}_{n+1}+F^{2}_{n+1} + F_{n+1} * F_{n+2} - F^{2}_{n+2}=(-1)^{n+1}+F^{2}_{n+1} + F_{n+1} * F_{n+2} - F^{2}_{n+2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F^{2}_{n} + F_{n} * F_{n+1} + F_{n+1} * F_{n+2} - F^{2}_{n+2}=(-1)^{n+1}+F^{2}_{n+1} + F_{n+1} * F_{n+2} - F^{2}_{n+2} \end{eqnarray}$ Nun könnte ich noch für $\begin{eqnarray} F_{n+1} * F_{n+2} \end{eqnarray}$ die Identität $\begin{eqnarray} F^2_1+...+F^2_n \end{eqnarray}$ einsetzen und für $\begin{eqnarray} F_{n+2} \end{eqnarray}$ die Identität $\begin{eqnarray} 1+F_1+...+F_n \end{eqnarray}$ einsetzen, was ich auch gemacht habe, aber ich komme nicht zum Endergebnis $\begin{eqnarray} (-1)^{n+2} \end{eqnarray*}$ Danke schonmal im Voraus!
26.10.2009, 09:21	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Folge Wieso addierst du Ausdrücke auf der linken Seite für n und n+1? Wozu soll das gut sein? Nimm den Ausdruck auf der linken Seite für n+1 $\begin{eqnarray} F_{n+1}^2+F_{n+1}F_{n+2}-F_{n+2}^2 \end{eqnarray}$ und ersetze $\begin{eqnarray} F_{n+2} \end{eqnarray}$ gemäß der Rekursionsbeziehung der Fibonaccifolge $\begin{eqnarray} F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \end{eqnarray}$
26.10.2009, 10:17	Viriditas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis für Folge Danke! Ich war gedanklich wohl bei den Summen, habe noch nie einen Induktionsbeweis bei einer Folge durchgeführt. Das zu addieren ergibt aber auch keinen Sinn! Auf alle Fälle vielen Dank, konnte jetzt den Induktionsbeweis erfolgreich durchführen!

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