Integral Aufgabe (Funktionssynthese)

26.10.2009, 09:25	Mc4711	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Aufgabe (Funktionssynthese) Hallo, hab eine echt komische Integralaufgabe bekommen. Hab mir echt schon viele gedanken gemacht aber es kommt zu keiner Lösung. Die Aufgabe: Eine Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung, hat bei x=1 die Steigung 0 und in x=2 einen Wendepunkt. Die Funktion schließt mit der x-Achse im 4 Quadranten eine Fläche von 9 ein. Also die ersten 3 Informationen sind schon klar. Durch den Ursprung ist d = 0. Erste Ableitung = 0 in x=1. Zweite = 0 in x = 2. Aber diese Fläche Wenn ich ne 2 Nullstelle hätte wäre es klar. BIn schon davon ausgegangen dass sie symmetrisch ist und die Wendestelle als grenze genommen....nix Hab dann für die Grenz ne Variable gesetzt aber dann kommt die in den Nenner von nem Bruch und der muß null werden, wird auch nichts. Was hättet ihr denn für Ideen.
26.10.2009, 09:57	Draos	Auf diesen Beitrag antworten »
Vllt hilft es dir. Mal die gegebenen Sachen in Formeln $\begin{eqnarray} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(1)=0=3a 1^2+2b 1+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(2)=0=6a 2+2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\int_{k}^{0}(ax^3+bx^2+cx)~dx\| = 9 \end{eqnarray}$ Das mit dem einschließen sagt gleichzeitig: $\begin{eqnarray} f(k)=0 \end{eqnarray}$ Aso zur Symmetrie nochmal. Funktionen 3. Grades sind Punktsymmetrisch zum Wendepunkt.
26.10.2009, 10:16	Mc4711	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Danke. Würde nur das hier: $\begin{eqnarray} \|\int_{k}^{0}(ax^3+bx^2+cx)~dx\| = 9 \end{eqnarray}$ eher so auffassen wegen dem 4ten Quadranten $\begin{eqnarray} \|\int_{0}^{k}(ax^3+bx^2+cx)~dx\| = 9 \end{eqnarray}$ Ich wollte halt nur über die allgemeine Symmetrie b noch 0 setzen
26.10.2009, 10:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist geschickter, die Flächenbedingung erst einmal zu ignorieren. Aus den anderen Bedingungen kann man ja leicht zwei Variable eliminieren und eine Darstellung $\begin{eqnarray} b = \text{linearer Term in} \ a \, , \ \ c = \text{linearer Term in} \ a \end{eqnarray}$ finden. Damit enthält der Ansatz für den Funktionsterm nur noch den Parameter $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} y = f_a(x) \end{eqnarray}$ . Dann läßt sich der Funktionsterm in offensichtlicher Weise faktorisieren. So kann man die Integrationsgrenzen für das Integral ablesen. Eine der beiden Nullstellen besitzt die Ordnung 2, die Fläche liegt je nach dem Vorzeichen von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ im I. oder IV. Quadranten. Somit kann man auch aus den beiden möglichen Ansätzen $\begin{eqnarray} \int_{\ldots}^{\ldots} f_a(x)~\dd x = 9 \ \ \text{bzw.} \ \ \int_{\ldots}^{\ldots} f_a(x) ~\dd x = -9 \end{eqnarray}$ gleich den richtigen herausfinden.
26.10.2009, 11:01	Mc4711	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Danke Bei mir ist $\begin{eqnarray} f_a(x)= ax³-6ax²+9ax \end{eqnarray}$ dann ist nach das a (bei a ungleich 0) rausgeflogen und ich hab 3 als NS bekommen und dann kam aus dem Integral a=4/3 raus. Mußte aber das Vorzeichen tauschen dass die Fläche auch im 4 Quadranten liegt
26.10.2009, 11:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. Ich würde aber so argumentieren: $\begin{eqnarray} f_a(x) = ax^3 - 6ax^2 + 9ax = ax \left( x^2 - 6x + 9 \right) = ax (x-3)^2 \end{eqnarray}$ Die Nullstellen von $\begin{eqnarray} f_a(x) \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ , letztere ist von der Ordnung 2. Daher berührt der Graph bei $\begin{eqnarray} x=3 \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse. Ist nun $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ , so folgt aus dem Randverhalten von $\begin{eqnarray} f_a \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} f_a(x) \to - \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \to - \infty \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_a(x) \to \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ ), daß die betreffende Fläche im I. Quadranten liegt. Bei $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ wird an der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse gespiegelt, also liegt die Fläche im IV. Quadranten. Der korrekte Ansatz zur Bestimmung von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist daher $\begin{eqnarray} \int_0^3 f_a(x)~\dd x = -9 \end{eqnarray}$
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26.10.2009, 11:25	Mc4711	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, hätte ich mich auch vorher überlegen können. Die mußte ja negativ sein dass sie im 4ten liegt. Danke nochmal

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