Gleichung mit komplexer Zahl

26.10.2009, 11:18

Viriditas

Gleichung mit komplexer Zahl

Hallo

Ich soll $\begin{eqnarray*} z^3+i=0 \end{eqnarray*}$ auflösen.
Dafür habe ich die Gleichung erst auf die Form $\begin{eqnarray*} z=\sqrt[3]{-i} \end{eqnarray*}$ gebracht.

Jetzt gilt ja, dass $\begin{eqnarray*} z=re^{i\alpha} \end{eqnarray*}$ ist, wobei das Alpha für das Phi stehen soll.

Also gilt $\begin{eqnarray*} z^3=r^3e^{3i\alpha} \end{eqnarray*}$

Aber wie Bilde ich jetzt r³? Ich bekomme dafür 1 heraus, bin mir aber nicht sicher, ob das stimmt.

26.10.2009, 11:37

mYthos

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RE: Gleichung mit komplexer Zahl

Zitat:

Original von Viriditas
...
Also gilt $\begin{eqnarray*} z^3=r^3e^{3i\alpha} \end{eqnarray*}$
...

So geht es nicht. Vielmehr gilt allgemein

$\begin{eqnarray*} z=re^{i(\alpha+2k \pi)} \ ; \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
________________________________

Für deine Gleichung ist (r = 1)

$\begin{eqnarray*} z^3=-i=1 \cdot e^{i(\frac{3 \pi} 2+2k \pi)}\ \text{k = 0, 1, 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt[3]1 e^{[\ldots)} = e^{[\ldots)} \end{eqnarray*}$

Und jetzt wende das an, was du über die Einheitswurzeln gelernt hast.

mY+

26.10.2009, 11:56

Viriditas

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RE: Gleichung mit komplexer Zahl

Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Viriditas
...
Also gilt $\begin{eqnarray*} z^3=r^3e^{3i\alpha} \end{eqnarray*}$
...

Danke für deine Hilfe!

Mich verwirrt nur noch ein bisschen diese Zeile:

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt[3]1 e^{[\ldots)} = e^{[\ldots)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich aus z³ die dritte Wurzel ziehe, erhalte ich doch $\begin{eqnarray*} z=\sqrt[3]{1 \cdot e^{i(\frac{3 \pi} 2+2k \pi)}} \end{eqnarray*}$

Das kann ich aufspalten und ich erhalte dann doch $\begin{eqnarray*} z=1\sqrt[3]{e^{i(\frac{3 \pi} 2+2k \pi)}} \end{eqnarray*}$ ?

26.10.2009, 12:13

mYthos

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Das Wurzelzeichen bei mir ist nur über der 1. Ich habe dies deswegen zuerst so stehen lassen, damit ersichtlich ist, dass für alle anderen Werte für r eben dann die dritte Wurzel zu berechnen ist. Hier kannst du selbstverständlich die 1 als Faktor weglassen.

mY+

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