Supremum, Infimum, allgemeiner Beweis

26.10.2009, 13:07

sunny90

Supremum, Infimum, allgemeiner Beweis

Hallo,
ich hier ne Aufgabe von der ich nicht allzu viel verstehe unglücklich

Es sei ( $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ Teilmenge von P(der reellen Zahlen) ein Menge von nichtleeren nach oben beschränkten Mengen und M:= $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} A\in \Im \end{eqnarray*}$ ) A. Zeigen Sie, dass M genau dann nach oben beschränkt ist, wenn die Menge {supA : A $\begin{eqnarray*} \in \Im \end{eqnarray*}$ } nach oben beschränkt ist, und dass in diesen Fall gilt:
sup M = sup {supA : A $\begin{eqnarray*} \in \Im \end{eqnarray*}$ }.
Formulieren und beweisen Sie eine entsprechende Aussage für das Infimum.
(Hierbei ist P( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ )= {B : B Teilmenge von den reellen Zahlen } und $\begin{eqnarray*} \bigcup \end{eqnarray*}$ (A $\begin{eqnarray*} \in \Im \end{eqnarray*}$ ) A = {x : $\begin{eqnarray*} \exists A \in\Im \end{eqnarray*}$ : x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A }.)

Bisher "mir erklärt" habe ich dass ein gibt, welches aus mehreren Mengen besteht und keine leere beinhaltet. Alle haben eine supM außer das angegebene M und dies ist nur beschränkt wenn die angegebene Menge eine OS hat.
Es wäre toll wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte, bzw. mir einen Tipp gibt was genau ich da wie beweisen soll.
Danke für die Hilfe!
MFG

27.10.2009, 00:11

Abakus

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RE: Supremum, Infimum, allgemeiner Beweis

Zitat:

Original von sunny90
Zeigen Sie, dass M genau dann nach oben beschränkt ist, wenn die Menge {supA : A $\begin{eqnarray*} \in \Im \end{eqnarray*}$ } nach oben beschränkt ist, und dass in diesen Fall gilt:
sup M = sup {supA : A $\begin{eqnarray*} \in \Im \end{eqnarray*}$ }.
Formulieren und beweisen Sie eine entsprechende Aussage für das Infimum.

Da stehts. Du sollst eine Äquivalenz von Aussagen zeigen (also kannst du zB 2 Implikationen zeigen, dh. jede Aussage ist einmal Voraussetzung und du zeigst die jeweils andere).

Die Formulierung der Aussage für das Infimum ist ganz ähnlich, du orientierst dich halt dann nach "unten" und brauchst untere Schranken usw.

Grüße Abakus smile

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