Punkt-Bestimmung durch Ungleichung

26.10.2009, 13:22

AlphaCentauri

Punkt-Bestimmung durch Ungleichung

Hi,
ich hab ein Probelm mit folgender Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Skizzieren Sie alle Punkte in der Ebene für die gilt:
$\begin{eqnarray*} |x| + |y-2| < 5 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt hab ich mir überlegt, dass man diesen Term erstmal vereinfachen könnte, z.b. folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} |x| + |y-2| = |x| + |y| + |2| = |x| + |y| + 2 < 5 \end{eqnarray*}$ daraus folgt dann
$\begin{eqnarray*} |x| + |y| < 3 \end{eqnarray*}$ .
Allerdings hab ich jetzt nich wirklich ne Ahnung wie ich weiter vorgehen soll. Vielleicht hat ja einer von euch ne Idee, wies weitergehen könnte?!
Danke schonmal im Voraus!

26.10.2009, 13:57

Kopfrechner

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RE: Punkt-Bestimmung durch Ungleichung
Hallo,

wie kommst du darauf, dass $\begin{eqnarray*} |y-2| = |y| + |2| \end{eqnarray*}$ gilt?

Prüfe ggf. mit einigen Werten nach ...

Gruß, Kopfrechner

26.10.2009, 14:11

AlphaCentauri

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RE: Punkt-Bestimmung durch Ungleichung
ja ok, das stimmt nicht! hab ich wohl im übereifer nich ganz bedacht.
Aber dann hab ich ja noch weniger Ahnung wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Ich meine muss ich hier jetzt eine Fallunterscheidung machen aufgrund der Beträge, die in der Ungleichung vorhanden sind?! Oder gibt es irgendeinen Trick, weil ich soll ja die Punkte skizzieren, muss ich sie deshalb vllt gar nicht berechenen?! *confused*
Vielleicht kann mir einer von euch etwas Ordnung in mein Chaos bringen?! Gott

26.10.2009, 15:03

BarneyG.

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Zitat:

Ich meine muss ich hier jetzt eine Fallunterscheidung machen aufgrund der Beträge, die in der Ungleichung vorhanden sind?!

Das ist doch schon einmal eine Klasse Idee! Big Laugh

Nimm doch zunächst mal

Fall 1: x >= 0

Dann ist doch |x| = x

Damit haben wir

x + |y - 2| < 5

|y - 2| < 5 - x

Und jetzt beachtest du einfach noch, dass

|a| < b gleichwertig ist mit -a < b < a

Und schon weißt du, welche Punkte auf der rechten Seite der y-Achse die geforderte Ungleichung erfüllen.

Und weil es so schön war kommt nun noch

Fall 2: x < 0

Dann ist |x| = -x

Und schon sollte die Sache gelöst sein ... Big Laugh

Grüße

26.10.2009, 16:08

AlphaCentauri

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Also danke erstmal! Die Ungleichungen für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ würde dann lauten: $\begin{eqnarray*} -y + 2 < 5 - x < y - 2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ dementsprechend: $\begin{eqnarray*} -y + 2 < 5 + x < y - 2 \end{eqnarray*}$ .
Allerdings weiß ich jetz nicht, wie ich hier die Punkte erkennen soll, die ich beispielsweise auf der rechten Seite der y - Achse zeichnen soll. Ich meine dafür werde ich sicher die erste Ungleichung benutzen müssen, nur weiß ich nich wie?!

26.10.2009, 16:17

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Man kann sich der Sache schrittweise nähern, ohne überhaupt groß rechnen zu müssen:

(1) Was beschreibt $\begin{eqnarray*} |x| + |y| = a \end{eqnarray*}$ für gegebenen positiven Wert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? Nun, ein um 45° gedrehtes Quadrat mit Diagonalenlänge $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ und Zentrum im Ursprung (0,0).

(2) Als nächsten Schritt $\begin{eqnarray*} |x| + |y| < a \end{eqnarray*}$ , das ist dann nichts weiter als das Innere des in (1) beschriebenen Quadrates.

(3) Schlussendlich kommen wir zum vorliegenden $\begin{eqnarray*} |x-x_0| + |y-y_0| < a \end{eqnarray*}$ für gegebene $\begin{eqnarray*} x_0,y_0,a \end{eqnarray*}$ . Das ist dasselbe wie (2), nur eben nicht mit Zentrum (0,0), sondern Zentrum $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ .

26.10.2009, 16:49

BarneyG.

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Na, da ist mir ein kleiner Fehler unterlaufen:

|a| < b ist gleichwertig mit -b < a < b

Fall 1: x >= 0

|y - 2| < 5 - x

-(5 - x) < y - 2 < 5 - x

(U1) x - 3 < y < -x + 7

Wir zeichnen nun die beiden Geraden auf der linken und rechten Seite der Ungleichung (U1):

g1(x) = x - 3

g2(x) = -x + 7

Diese beiden Geraden begrenzen zusammen mit der y-Achse ein (rechtwinkliges) Dreieck. Welche Eckpunkte hat dieses Dreieck denn wohl? Alle Punkte (x | y) im Innern des Dreiecks erfüllen die Ungleichung (U1). weil die Punkte oberhalb der Geraden g1 liegen (x - 3 < y) und weil sie unterhalb der Geraden g2 liegen (y < -x + 7).

Fall 2: x < 0

Wenn du das nun in gleicher Weise für x < 0 durchführst, dann erhältst du ein zweites Dreieck links neben der y-Achse. Und schon ist klar, wie die Lösungsmenge ausschaut.

Grüße

Anmerkung: wenn man den von Arthur Dent unter (1) genannten Sachverhalt als bekannt voraussetzen darf, dann wird die Lösung natürlich sehr viel einfacher.

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