Welcher Punkt von Fkt hat kleinsten Abstand zum Ursprung?

26.10.2009, 13:34

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

Welcher Punkt von Fkt hat kleinsten Abstand zum Ursprung?

Hallo,
ich bin gerade bei folgender Aufgabe.

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x-6 \end{eqnarray*}$ . Welcher Punkt des Graphen von f hat den kleinsten Abstand vom Ursprung?

Muss ich da wieder wie bei einer Extremwertaufgabe rangehen?
Also Zielfunktion. Abstand von (0/0) zu Funktion klein.
Wie kann ich das denn noch anders schreiben? So hilft es mir ja nicht so viel weiter.

Nebenbedingung: Punkt - der geringsten Abstand zu (0/0) hat, muss auf Graphen von f(x) liegen.

Ist der Ansatz so richtig? Und wie bekomme ich das noch mathematisch in Gleichungen geschrieben?

Vielen Dank schon mal im Voraus.
Duude

26.10.2009, 13:38

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welcher Punkt von Fkt hat kleinsten Abstand zum Ursprung?
Wie wäre denn der Abstand zwischen 2 Punkten allgemein definiert?

26.10.2009, 13:49

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

Abstand von x und y = Betrag von x - y

Also wäre meine Zielfunktion dann Betrag von x - y ?

26.10.2009, 13:55

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du wirklich?

Von (0|0) zu (1|1) ist der Abstand dann 1 oder 0? Kann ich aus der Formel nicht genau herauslesen, was aber beides falsch wäre.

Zeichne dir mal nen Koordinatensystem und dort den Punkt (1|1) und messe den Abstand von (0|0). Zur Berechnung, denk an den Satz von Pythagoras.

26.10.2009, 16:33

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Von (0|0) zu (1|1) ist der Abstand dann 1 oder 0? Kann ich aus der Formel nicht genau herauslesen, was aber beides falsch wäre.

Zeichne dir mal nen Koordinatensystem und dort den Punkt (1|1) und messe den Abstand von (0|0). Zur Berechnung, denk an den Satz von Pythagoras.

ja, du hast recht. Der Abstand von 0 zu 1 ist Wurzel 2 mit dem Satz des Pythagoras.

ah, na klar.. jetzt hab ichs.
$\begin{eqnarray*} Abstand ^2= x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ nach dem Satz des Pythagoras. Daraus folgt:
Abstand = $\begin{eqnarray*} \sqrt(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ Also die Wurzel soll ganz drübergehen. Das hab ich nicht so hinbekommen...

Wenn ich jetzt einen allgemeinen Punkt betrachte, sieht er ja so aus P(u/f(u))= P(x,y)
Das heißt, x ist u und y ist f(u)= $\begin{eqnarray*} u^2-2u-6 \end{eqnarray*}$ .

Dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} d=(0,P)=\sqrt(u^2+(u^2-2u-6)^2) \end{eqnarray*}$

Ableiten und gleich 0 setzen, ergibt das Minimum bei x=-1,59
den y-Wert bekomme ich durch Einsetzen in die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x-6 \end{eqnarray*}$ . Das ergibt -0,34.

Der Punkt P(-1,59/-0,94) hat den geringsten Abstand zum Ursprung.

Müsste stimmen, oder?

Was hätte ich denn jetzt anders rechnen müssen, wenn ich nicht den Abstand zum Ursprung sondern den Abstand zu irgendeinem anderen Punkt gesucht hätte?

z.B in diesem Beispiel zum Punkt Q (3/4)? Dann könnte ich ja sagen, ich verschiebe den Punkt Q(3/4) in den Ursprung, und die Gleichung um den gleichen Faktor nach links unten. Aber wie kann ich das in die Gleichung reinbasteln?

26.10.2009, 16:51

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Welcher Punkt von Fkt hat kleinsten Abstand zum Ursprung?

So siehts aus und es könnte hinhauen - die Methode die du beschreibst passt auf jeden Fall.

Für den Fall dass es nicht der Ursprung ist, musst du den Abstand einfach entsprechend anpassen.

Dann ist $\begin{eqnarray*} \text{Abstand}= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} \end{eqnarray*}$

mit den Klammer {} schließt du Sachen ein, damit Latex es als Einheit erkennt, so macht der ne komplette Wurzel um den Ausdruck in den Klammern.

Anzeige

26.10.2009, 17:10

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

mit den Klammer {} schließt du Sachen ein, damit Latex es als Einheit erkennt, so macht der ne komplette Wurzel um den Ausdruck in den Klammern.

ok, super.

Ja, also das Prinzip habe ich glaube ich verstanden. Ich versuche es jetzt mal anzuwenden:

Also Beispiel: Funktion von oben und Abstand zu Q(3/4) berechnen.

$\begin{eqnarray*} \text{Abstand}= \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Abstand}= \sqrt{(x-3)^2 + ((x-3)^2-2(x-3)+6)^2} \end{eqnarray*}$

und dann eben ausrechnen...

Ich erhalte als Minimum 1,412

Also einfach 3 mehr, als das ursprüngliche Ergebnis. Das hängt wohl damit zusammen, weil in der Formel am Schluss der y-Wert 4 nicht berücksichtigt wird. Das Ergebnis müsste ja eigentlich größer sein, oder?

Wie bekomme ich denn das y noch in die Formel?

26.10.2009, 17:17

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst für y einfach deine ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen, ohne Verschiebung. Und der y-wert wird ja von der Funktionsgleichung abgezogen.

26.10.2009, 17:37

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du musst für y einfach deine ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen, ohne Verschiebung. Und der y-wert wird ja von der Funktionsgleichung abgezogen.

Also nur die ursprüngliche Funktionsgleichung für y einsetzen. Dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \text{Abstand}= \sqrt{(x-3)^2 + (x^2-2x+6)^2} \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit der y-Wert wird von der Funktionsgleichung abgezogen?

Irgendwie komm ich grad nicht drauf...

26.10.2009, 17:44

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \text{Abstand}= \sqrt{(x-3)^2 + (\underbrace{x^2-2x+6}_y - \overbrace{4}^{y_0})^2} \end{eqnarray*}$

26.10.2009, 18:13

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

ach so hast du das gemeint. Ja das macht Sinn smile

smile

Ich habe jetzt nochmals das Minimum berechnet. Das liegt dann bei P(1,55/5,30)

26.10.2009, 18:19

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre seltsam, der Punkt liegt weder auf dem Graph, noch wäre es wirklich minimal, hast dich vlt verrechnet?

26.10.2009, 18:47

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt bin ich gerade etwas verwirrt...
Welchen Graph hast du denn da gezeichnet?

Ich hab nämlich festgestellt, dass die Funktion ganz oben so hieß: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x-6 \end{eqnarray*}$ . Weiter unten dann aber so: $\begin{eqnarray*} \text{Abstand}= \sqrt{(x-3)^2 + (x^2-2x+6)^2} \end{eqnarray*}$ Da hat sich wohl irgendwann mal aus Versehen das Vorzeichen geändert...

also wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x-6 \end{eqnarray*}$ zeichne, ist mein Minimum bei M(-1/-7)
und wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x+6 \end{eqnarray*}$ zeichne, ist es bei M( 1/5)

Oder hast du dein Diagramm schon verschoben?

Ich habe jetzt nochmals das Minimum von

$\begin{eqnarray*} \text{Abstand}= \sqrt{(x-3)^2 + (\underbrace{x^2-2x-6}_y - \overbrace{4}^{y_0})^2} \end{eqnarray*}$ berechnet. Also mit dem Minus in der Funktion. Da kam fürs Minimum der x-Wert 4,28 raus. Es gibt allerdings zwei Minima in der Funktion, ich hab jetzt halt mal das tiefere gewählt...

Wenn ich den x-wert dann in $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x-6 \end{eqnarray*}$ einsetzte, erhalte ich y=15,75.

Ich weiß jetzt aber nicht so genau, ob ich das Richtige berechnet habe.

26.10.2009, 18:50

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Heute ist wohl echt nicht mein Tag.

Du wirst mit dem x-Wert recht haben, aber beim y-Wert wirst du dich verzettelt haben, da schon mit großzügigem Runden wesentlich weniger rauskommt.

27.10.2009, 20:47

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich habe den y-Wert nochmals berechnet.

x=4,28

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2x-6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=f(x)=4,28^2-2*4,28-6=3,7584 \end{eqnarray*}$

Also P(4,28/3,75)

Bist du so einverstanden?

27.10.2009, 21:09

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne gerundete Werte ist natürlich immer schöner, aber beim Graphen passt das schon viel besser.

27.10.2009, 21:13

Duude

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ok. Werd beim nächsten Mal drauf achten smile

smile

Jetzt ist alles klar.

Vielen Dank für deine Hilfe.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »