Gleichmächtigkeit von Mengen!

26.10.2009, 14:04

Traidos

Gleichmächtigkeit von Mengen!

Hallo, Leute. Ich hab hier n paar Aufgabe und finde seit ca. 30 Min. absolut keinen Ansatz. Mir würde schon ein Beispiel reichen, damit ich weiß, wie ich das weiter machen kann.
Hier mal eine Aufgabe.
Zeigen Sie, dass N und Z gleichmächtig sind.

Ich weiß, dass es eine bijektive Abbildung geben muss, aber ich weiß nicht genau, wie ich z.B. Injektivität der beiden Mengen zeigen soll.

MfG
Trai

26.10.2009, 14:07

Mazze

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Zitat:

wie ich z.B. Injektivität der beiden Mengen zeigen soll.

Das kannst Du garnicht. Injektivität ist eine Eigenschaft von Funktionen nicht von Mengen (auch wenn Funktionen eigentlich Mengen sind, aber das verwirrt hier jetzt nur).

Du musst eine Funktion finden die bijektiv ist. Das kannst Du tun in dem Du auf eine geschickte Art und Weise zählst. Und zwar so :

$\begin{eqnarray*} 0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-5,5 \end{eqnarray*}$

So kannst Du alle ganzen Zahlen abzählen. Das musst Du nur noch formulieren Augenzwinkern

26.10.2009, 14:10

Traidos

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Genau das mit "eine Funktion finden" macht mir hier Probleme. Nehmen wir mal das Beispiel, wie genau gehst du da denn vor ( Idee ), oder ein anderes Beispiel:
Zeigen Sie, dass N und {0,1}* gleichmächtig sind!

EDIT: Als Aufgabenstellung steht noch drüber, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, wenn es eine Bijektion gibt, also muss ich ja irgendwie Injektivität und Surjektivität zeigen!

MfG

26.10.2009, 14:14

Mazze

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Wie eine mögliche Funktion aussieht kann man nicht pauschal sagen, da es entschieden von den Mengen abhängt. Zum Beispiel sind

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ gleichmächtig. Das zeigt man in dem man die Tangensfunktion geeignet manipuliert.

Zitat:

Als Aufgabenstellung steht noch drüber, dass zwei Mengen gleichmächtig sind, wenn es eine Bijektion gibt, also muss ich ja irgendwie Injektivität und Surjektivität zeigen!

Erstaunlich das Du das , was ich Dir gerade geschrieben habe nochmal selbst von woanders her zitierst. Ich habe Dir mit

$\begin{eqnarray*} 0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,-5,5 \end{eqnarray*}$

eine konkrete Idee gegeben wie man eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N} \to \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ konstruieren kann. Probiers mal aus Augenzwinkern

edit :

Nochmal zum Verständnis. Du konstruierst Dir eine Funktion und zeigst dann das diese Funktion bijektiv ist.

26.10.2009, 14:23

Traidos

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Also zusammemfassend: Ich muss, wenn ich Gleichmächtigkeit zwischen zwei Mengen finde will eine bijektive Funktion bilden?
Wenn das stimmt, wie genau bilde ich denn solch eine? Das ist grad das Problem, bei dem ich hänge.

MfG

26.10.2009, 14:25

Mazze

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Vielleicht Hilft es Dir mehr wenn ichs so schreibe :

$\begin{eqnarray*} f(1) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2) = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(3) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(4) = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(5) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(6) = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(7) = 3 \end{eqnarray*}$

usw.

edit :

Zitat:

Ich muss, wenn ich Gleichmächtigkeit zwischen zwei Mengen finde will eine bijektive Funktion bilden?

Ja!

26.10.2009, 14:33

Traidos

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Also würde das so aussehen:
n gerade: n=n: (-2)
n ungerade: n=((n+1): (2))

So, wie bau ich daraus jetzt eine Funktion?

Hm . . also das mit ungerade stimmt noch nich. :-(

MfG

26.10.2009, 15:03

Traidos

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Ok, dass hab ich jetzt . .. Durch die eindeute Zuordnung ohne Wiederholung ist ja gezeigt, dass es gleich mächtig ist.
Das heißt der Weg in die eine Richtung ist klar, aber wie zeig ich denn, dass Menga nicht gleichmächtig sind? Also z.B. . . . öhm . . . N und R?

MfG

26.10.2009, 18:40

Mazze

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Da fällt mir spontan nur Cantors zweites Diagonalelement ein. Ansonsten gehts wohl nur per Widerspruch, also annehmen die Mengen wären gleichmächtig und das auf einen Widerspruch führen.

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