Winkel ausrechnen mit Verhältnisgleichung

26.10.2009, 19:37

Tobosaku

Winkel ausrechnen mit Verhältnisgleichung

Die Aufgabe ist folgende:

In einem Dreieck ist sin(alpha):sin(beta):sin(gamma) gegeben. Wie gross sind die Winkel?

a) sin(alpha):sin(beta):sin(gamma) = 3:4:5

Habe dafür eine beliebige Zahl für die Seite a eingesetzt und mit dem Verhältnis von Sinus Alpha zu Sinus Beta/Gamma, die Längen der Seite b und c ausgerechnet. Hab dies dann mit der Flächenformel gleichgesetzt und somit Sinuas Alpha ausgerechnet. Super, dacht ich mir, bis ich Aufgabe b) las:

b) sin(alpha):sin(beta):sin(gamma) = Wurzel(3):Wurzel(4):Wurzel(5)

Mit demselben Lösungsweg wie bei a) bekomme ich hier einen ungültigen Sinuswert... Doch mir fällt leider keine andere Möglichkeit ein...
Wäre froh um Hilfe!

26.10.2009, 19:55

MLRS

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Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma =a:b:c \end{eqnarray*}$

wobei a,b,c die Dreiecksseiten sind.

Du hast ein Verhältnis der 3 Seiten - damit kann man etwas anfangen, aber ich denke da gibt es bessere Wege verwirrt

26.10.2009, 19:57

Alex-Peter

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RE: Winkel ausrechnen mit Verhältnisgleichung
Du setzt

siin(Alfa) / sin(Beta) = 3/4

sin(Beta / sin(Gamma) = 4/5

Alfa + Beta + Gamma = Pi

Damit kannst du das lösen;

Die Winkel bekommst du nicht im Gradmass, sondern als Radiant
und muss sie am Ende noch umrechnen ins Gradmaß
Winkel Gamma wird dabe 90°, den Rest versuche selbst zu berechnen

26.10.2009, 21:10

Tobosaku

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Ohne den Tipp, dass Gamma 90 Grad ergibt wäre ich genau gleichweit... Wie errechne ich nun die 4 Unbekannten aus diesen drei Gleichungen?

Aufgabe a) habe ich ja bereits mit dieser Formel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} *b*c*\sin(\alpha) = \sqrt{s*(s-a)(s-b)(s-c)} \end{eqnarray*}$
lösen können, nur damit ihr mir nicht vorwerft, ich hätte mir nix bei überlegt Augenzwinkern

Nur bei der Aufgabe b) klappt das eben nicht mehr, deswegen wäre ich froh über den allgemein gültigen Lösungsweg.

26.10.2009, 21:23

MLRS

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Zitat:

Original von Tobosaku
Nur bei der Aufgabe b) klappt das eben nicht mehr, deswegen wäre ich froh über den allgemein gültigen Lösungsweg.

Wie ich oben bereits geschrieben hab:

Zitat:

Original von MLRS
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma =a:b:c \end{eqnarray*}$

wobei a,b,c die Dreiecksseiten sind.

Du hast damit:
$\begin{eqnarray*} a:b:c=\sqrt{3}:\sqrt{4}:\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Weil sich die Winkel bei ähnlichen Dreiecken nicht ändern, darf man die Länge einer Seite frei wählen. Hier kann man zB $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ wählen

Dann ist $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben wir 3 Seitenlängen und brauchen die Winkel - weißt du wie es weitergeht?

26.10.2009, 21:32

Alex-Peter

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Das sind 3 Unbekannte und 3 Gleichungen, und nicht 4 Unbekannte
Die Aufgabe b kannst du genauso berechnen, wie Aufgabe a. Das sind auch nur 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Resultat im Bogenmaß, dann umrechnen ins Gradmaß

Zur Kontrolle, weil es schon spät ist gebe ich dir die Resultate, du solltest die gleichen Ergebnisse rausbekommen

Alfa = 47,86958
Beta = 58,91
Gamma = 73,22

26.10.2009, 21:32

Tobosaku

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Vielen Dank!
Muss wohl das umformen nochmals üben... den Kosinussatz, den ich nun anwenden muss ist:
cos (alpha) = b²+c²-a² [bruchstrich] 2 * b * c

Eine Frage hätt ich aber noch, weshalb funktioniert das nicht mit demselben Weg, wie ich Aufgabe a) gelöst habe? Ob ich nun den Kosinussatz anwende, oder Sinus Alpha mit dem Flächenvergleich ausrechne sollte doch keinen Unterschied machen?

26.10.2009, 21:50

MLRS

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Zitat:

Original von Tobosaku
Vielen Dank!
Muss wohl das umformen nochmals üben... den Kosinussatz, den ich nun anwenden muss ist:
cos (alpha) = b²+c²-a² [bruchstrich] 2 * b * c

Richtig, mit dem Kosinussatz kannst du die Kosinuswerte der Winkel berechnen und solltest auf das gleiche Ergebnis wie Alex-Peter kommen Freude

Zitat:

Original von TobosakuEine Frage hätt ich aber noch, weshalb funktioniert das nicht mit demselben Weg, wie ich Aufgabe a) gelöst habe? Ob ich nun den Kosinussatz anwende, oder Sinus Alpha mit dem Flächenvergleich ausrechne sollte doch keinen Unterschied machen?

Es sollte genauso zur Lösung führen...wahrscheinlich hast du irgendwo einen Fehler eingebaut Augenzwinkern

26.10.2009, 21:56

Tobosaku

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Dacht ichs mir... Forum Kloppe

Anstatt die viele Zeit zu vergeuden hätt ich das besser ein zweites Mal durchgerechnet.

Nochmals danke für die rasche Hilfe!

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