Injektiv surjektiv und bijektiv ist hier die Frage=)

26.10.2009, 20:14

xtemper

Injektiv surjektiv und bijektiv ist hier die Frage=)

Hallo ich soll unterscheiden ob die jeweilige Abbildung injektiv, surjektiv ode bijektiv ist

1.) $\begin{eqnarray*} g: \mathbb N \Rightarrow \mathbb N, g(x)=x² \end{eqnarray*}$ hier habe ich:injektiv, nicht surjektiv

2.) $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \Rightarrow \left\{ x\in \mathbb R |x\geq 0\right\}, g(x)=x² \end{eqnarray*}$ hier habe ich: surjektiv, nicht injektiv

3.) $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R ²\Rightarrow \mathbb R , g(x,y)=x+y \end{eqnarray*}$

4.) $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R ², g(x)=(x,x²) \end{eqnarray*}$

bei den letzten beiden habe ich nur intuitive annahemen, ich würde mich zunächst über eine klärung von R² freuen=)

Achja stimmen meine Aussagen über 1.) und 2.)

26.10.2009, 20:18

kiste

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Musst du nur entscheiden oder auch begründen?
Beim ersteren stimmt 1.&2. so bereits.
R^2 bedeutet einfach dass man ein Tupel hat.
Was sind deine intuitiven Annahmen?

26.10.2009, 22:11

xtemper

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In der Aufgabe steh prüfe nach, bei den ersten 2 habe ich mir dazu den Graph skizziert, an welchen man eindeutig die Eigenschaften erkennen kann.

Bei den dritten denke ich das ist surjektiv, nicht injektiv und das vierte ist meiner Meinung nach bijektiv

26.10.2009, 22:28

kiste

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Das dritte stimmt.

Wenn das vierte bijektiv sein soll, was ist dann das (eindeutige) Urbild von (1,5)?

26.10.2009, 22:42

xtemper

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wenn du so fragst gibts wohl in dem fall keins, bin noch leicht verwirrt durch die geschichte mit den tupeln...

dann wird wohl surjektiv und nicht injektiv richtig sein, da jedem x sein quadrat zugeordnet wird(bin mir da nicht sicher, die schreibweise mit dem R²(tupel) ist mir recht neu und ungewohnt)

26.10.2009, 22:52

kiste

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Denken, nicht interpretieren.
Also untersuche einmal welches x es geben könnte so dass (x,x^2) = (1,5).
Gibt es so eines?
Wenn nicht ist die Abbildung nicht surjektiv.

Injektiv hast du auch falsch beantwortet, nehm doch mal an es ist (x,x^2)=(y,y^2). Kann dann x ungleich y sein?

26.10.2009, 23:16

xtemper

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Zitat:

Original von kiste
Also untersuche einmal welches x es geben könnte so dass (x,x^2) = (1,5).
Gibt es so eines?
Wenn nicht ist die Abbildung nicht surjektiv.

Ich würde sagen x= $\begin{eqnarray*} \sqrt[]{1,5} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von kiste
Injektiv hast du auch falsch beantwortet, nehm doch mal an es ist (x,x^2)=(y,y^2). Kann dann x ungleich y sein?

x und y müssen gleich sein, sonst entstehen verschiedenene tupel

26.10.2009, 23:50

kiste

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Wenn $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{1.5} \end{eqnarray*}$ dann kann (x,..) nicht (1,...) sondern eben $\begin{eqnarray*} (\sqrt{1.5},...) \end{eqnarray*}$ .
Also muss x=1 sein, aber dann ist auch x^2 = 1 was eben nicht 5 ist.

Deine Begründung für injektiv stimmt

27.10.2009, 08:07

xtemper

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Zitat:

Original von kiste
Wenn $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{1.5} \end{eqnarray*}$ dann kann (x,..) nicht (1,...) sondern eben $\begin{eqnarray*} (\sqrt{1.5},...) \end{eqnarray*}$ .
Also muss x=1 sein, aber dann ist auch x^2 = 1 was eben nicht 5 ist.

Deine Begründung für injektiv stimmt

okay danke jetzt ist alles klar, ich habe die schreibweise anders aufgefasst. So wie du es sagst macht es jedoch mehr sinn=)

also ist der spaß injektiv und nicht surjektiv

27.10.2009, 11:02

kiste

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27.10.2009, 11:17

Jacques

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Hallo,

Nur noch als Tipp: Ich würde bei abstrakten Begriffen wie Surjektivität, Injektivität u. s. w. überlegen, was sie bei der Aufgabe konkret bedeuten.

Z. B. bei 3):

Surjektivität heißt dann, dass jede reelle Zahl als Summe zweier reeller Zahlen dargestellt werden kann. Das ist natürlich wahr, denn für alle x aus R gilt x = x + 0. Also ein Urbild zu x lautet in jedem Fall (x, 0). Injektivität bedeutet, dass zwei verschiedene Paare reeller Zahlen immer auch unterschiedliche Summen ergeben. Das gilt wegen der Kommutativität sicherlich nicht: x + y = y + x, also f(x, y) = f(y, x).

Bei 4) hätte man zur Widerlegung der Surjektivität auch schreiben können, dass die zweite Komponente der Paare (x, x²) immer nichtnegativ ist, also Paare wie (..., -1) niemals als Bilder auftreten.

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