Finden einer Abb. und Mengen

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RS Auf diesen Beitrag antworten »
Finden einer Abb. und Mengen
Geben Sie ein Bsp. von Mengen X, Y einer Abbildung f : X-> Y und zweier
Teilmengen U, V von X an, so dass und menge gelten.

Mein spontaner einfall



Stimmt des?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
 
 
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann das ganze auch noch ne stufe heftiger vorlegen:

Geben Sie ein Beispiel von drei Mengen X, Y,Z und zwei Abbildungen f : X --> Y
und g : Y --> Z an, so dass g kringel f bijektiv ist aber f nicht surjektiv und g nicht
injektiv ist.

Nur leider fällt mir da kein ansatz ein. viele vorraussetzungen aber wo muss ich anfangen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: g muss nur injektiv auf dem Bild von f sein.
oder
Tipp: nehm ne bijektive Abb. und erweitere die Mengen/Abb.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich jetzt ne beliebige biijektive abb. nehmen? aber dann muss ich ja schon die mengen vorher anpassen um sicher zu gehen, dass sie bijektiv ist. Kann ich das einfach mit jeder beliebigen?

PS:// wenn ich jetzt beispielsweise fürund nehme (mal unabhängig obs die aufgabe erfüllen würde). Wie sähe dann die komposition aus??

oder ?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Komposition ist nicht richtig. Aber nimm nicht so große Mengen wie die reellen Zahlen. Endliche Mengen sollten völlig ausreichen smile
RS Auf diesen Beitrag antworten »

also welche stimmt? die zweite?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Keine von beiden Big Laugh
g(f(x)) = g(2x) = 3*(2x)^2

Aber wie gesagt: Konzentrier dich nicht auf solche Funktionen sondern lieber auf Funktionen die auf endlichen Mengen definiert sind.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

so das habe ich nun raus.





Ist das richtig so?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

f ist so nicht mal eine Funktion da f(4) = 8 nicht in Y liegt.
Du musst versuchen einmal von Funktionsbegriff aus der Schule wegzukommen.
Du brauchst keine tolle Abbildungsvorschrift, du kannst auch eine Funktion von {1,2,3} nach {a,b,c} definieren mit 1->a, 2->c und 3->b.
Und genau sowas versuch mal hier in deinem Beispiel Augenzwinkern
RS Auf diesen Beitrag antworten »

steig ich nich hinter irgendwie^^.

hast du vielelicht ein beispiel? ich wüsste nicht wie ich, dass dann in zusammehang bringen sollte (welches element auf welches abgebildet wird.)
RS Auf diesen Beitrag antworten »

push
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Dann übernehm ich mal kurz. Grundsätzliches: Eine Funktion muss per Definition jedem Element ihres Definitionsbereiches ein Element des Wertebereiches zuordnen (Diese Eigenschaft heisst Linkstotal). Was Kiste meint ist zum Beispiel :





Dann könnte man eine Funktion zum Beispiel so definieren .







Das ist wohl eine Funktion, sie ist sogar ein Beispiel dafür was Du willst. Du musst nur noch U,V richtig wählen.

edit:

Das ist ein Beispiel für deine ursprüngliche Aufgabe.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geh nochmal zurück zum ersten beispiel und deinen überlegungen.









Wäre das richtig?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

U und V hast Du richtig gewählt. Aber was

Zitat:


ausdrücken soll, verstehe ich nicht.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich soll ja EINE abbildung f:X-> Y finden.

Wenn ich jetzt sage






Hab ich doch nicht nur eine abb.? oder doch? und wnen ja warum?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nur eine Abbildung definiert. Die Abbildung habe ich epxliziet angegeben, ich habe also zu jedem Elemen des Definitionsbereiches einen Funktionswert zugeorndet. Das ist dann eine Funktion.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Dann übernehm ich mal kurz. Grundsätzliches: Eine Funktion muss per Definition jedem Element ihres Definitionsbereiches ein Element des Wertebereiches zuordnen (Diese Eigenschaft heisst Linkstotal). Was Kiste meint ist zum Beispiel :





Dann könnte man eine Funktion zum Beispiel so definieren .







Das ist wohl eine Funktion, sie ist sogar ein Beispiel dafür was Du willst. Du musst nur noch U,V richtig wählen.

edit:

Das ist ein Beispiel für deine ursprüngliche Aufgabe.


hä? wo ist denn hier der unterschied zu meinen 2 grad geposteten sachen? ich sehe hier nur 3 funktionen di erste ordnet Müll der 1 zu die zweite Fahnen der 3 usw...

verstehe nicht warum, dass nur eine abbildung sein soll. sind 3 meiner ansicht nach.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
verstehe nicht warum, dass nur eine abbildung sein soll. sind 3 meiner ansicht nach.


3 Funktionen die alle f heissen? Ich habe dir gerade gesagt :

Zitat:
Eine Funktion muss per Definition jedem Element ihres Definitionsbereiches ein Element des Wertebereiches zuordnen


Nach deiner Sichtweise wären dann "alle 3" überhaupt keine Funktionen. Aber darum gehts gar nicht.

Ich habe zu jedem Element des Definitionsbereiches angegeben was die Funktion f damit machen soll. Da ich 3 Elemente im Definitionsbereich habe muss ich 3 mal sagen was passiert.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Also













??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist damit ?
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre das eine Lösung meiner allerersten Fragestellung?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn Du U und V richtig wählst!. Aber die hattest Du doch schon gelößt?
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich wolltes nur verstehen...

Dennoch hab ich jetzt mit dem nächsten problem, schweirigkeiten zu verstehen wie ich die komposition von g und f in "deiner" weise darstelle. ist mir ein rätsel wie ich g(f(x)) dann darstellen soll...

Villeicht könntest du dir mir mal eine bijektive abb. vorsetzen und ich versuche, dann die mengen und Abb. zu erweitern (was kiste gemeint hat)

Zitat:
Tipp: g muss nur injektiv auf dem Bild von f sein.
oder
Tipp: nehm ne bijektive Abb. und erweitere die Mengen/Abb.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde einfach stur nach Definition gehen. Als erstes wählt man sich sehr leiche Mengen.



Und auf diesen Mengen definierst Du dir jetzt folgendes :

Eine Funktion die nicht surjektiv ist (trivial)

Eine Funktion die nicht injektiv ist (trivial)

Das einzige nicht triviale ist, es so zu machen das die Verkettung bijektiv ist.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ich melde mich morgen deswegen nochaml..

Jetzt hab ich erstmal genug^^
RS Auf diesen Beitrag antworten »

also ich versuche mich mal nochmal.

für f wähle ich nun folgende zuordnung:



Damit ist f nicht surjektiv, da "3" aus Y kein element aus x zugeordnet wird.

für g:



die ist ja nicht injektiv, da es für "3" aus Z mehr als eine darstellungsmöglichkeit gibt.

Wie müsste ich denn nun die verkettung ansetzen?.(mal abgesehen davon ob die jetzt tatsächlich bijektiv ist). bei "funktionen" kann ich mir vorstellen wie sich die verkettung aufschreiben lässt, aber hier?

doch nicht etwa einfach so oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Alles soweit fast richtig.

Zitat:
Wie müsste ich denn nun die verkettung ansetzen?


Die "setzt" Du nicht an. Die Verkettung ist fest definiert durch Deine Funktionsdefinitionen von f und g. Allerdings hast Du bei den Verkettungen



mal wieder einen Fehler drin. Das hier



ist nicht definiert, da 4 doch gar nicht im Definitionsbereich von f liegt. Du hast aber die Verkettungswerte



richtig bestimmt.

Zum Verständnis :

Die Verkettung liefert dir eine neue Funktion also



Jetzt musst Du noch zeigen das die Funktion h wirklich bijektiv ist!
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sry das war nurn tippfehler. ich wollte die 3 nehmen.

Also kann ich mir die verkettung letztlich wie son pfeil durch die mengen visualisieren?

und wenn der weg durchgängig bis zur letzten menge ist, dann ist diese zuordnung element der komposition oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also kann ich mir die verkettung letztlich wie son pfeil durch die mengen visualisieren? und wenn der weg durchgängig bis zur letzten menge ist, dann ist diese zuordnung element der komposition oder?


verwirrt , das verstehe ich nicht. Wenn Du zwei Funktionen hast :





dann ist die Verkettung beider Funktionen, eine neue Funktion, die Kompositionsfunktion h mit

RS Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich weis worauf du hinaus willst, lassen wir das einfach ich habs verstanden^^

Wie zeige ich jetzt das die neue funktion bijjektiv ist? zeig ich einfach (bei nur 3 elementen), dass es immer genau ein wert aus X gibt der genau einem bild aus Z zugeordnet wird?

also



Damit sind ja alle werte und bilder "abgearbeitet" oder wie mach ich das sonst?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Damit sind ja alle werte und bilder "abgearbeitet" oder wie mach ich das sonst?


Ich hab das ja einfach gehalten, weils dann auch einfach zu zeigen ist. Du musst dich nur fragen :

Hat jedes ein mit ?

Wenn ist dann auch ?

Das kannst Du durchaus damit zeigen das Du einfach alle Möglichkeiten aufschreibst (weils ja nicht viele sind).
RS Auf diesen Beitrag antworten »

Ja na das erste ist ja gezeigt. aber injektivität kann ich ja hier nicht zeigen...

Also wäre ich mit als Beweis der biijektivität fertig oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ja na das erste ist ja gezeigt. aber injektivität kann ich ja hier nicht zeigen...


Hm, wieso nicht? Die Funktion h ist injektiv, also kann mans auch beweisen.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

na aber wie soll ich denn bitte zeigen, dass zuordnungen auf gleiche bilder aus Z immer gleiche werte aus X bedeuten? hab ja keine solche zuordnungen...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hab ja keine solche zuordnungen...


Natürlich, deine Funktion h ist die Zuordnung.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

mal davon abgesehen, dass ichs in der aufgabe nicht begründen muss. was schreib ich denn dann auf?



Einfach so oder muss ich da weiter was begründen?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
mal davon abgesehen, dass ichs in der aufgabe nicht begründen muss


Wenn in einer Aufgabe in Mathematik ein Beispiel angegeben werden soll das bestimmte Eigenschaften hat gehört es immer dazu das man sie auch beweist.

Zitat:


Das ist die Aussage die zu Beweisen ist. Sie als Beweis anzubieten ist schon fast frech. Ich zeigs dir einfach mal.

Sei es ist zu zeigen dass dann auch gilt. Es gibt 3 Möglichkeiten :

: In diesem Fall ist also . Daraus folgt wegen und g(1) = 1 dass dann auch ist. Nun, von f wissen wir aber das f nur die 1 auf 1 Abbildet, also folgt

x = 1 und y = 1 , also x = y

: geht genauso

: Der einzig interessante Fall. Sei also h(x) = h(y) = 3. Wir haben g so definiert dass ist. Also gilt



Nun haben wir aber f gerade so gewählt das die 3 kein urbild hat. Also gilt

und


Wir haben f so gewählt das nur für die 3 ist also folgt x = 3 und y =3 , also x = y. Damit ist h injektiv.
RS Auf diesen Beitrag antworten »

ok das hab ich verstanden.

Surjektivität von h:

z.Z. ist

Also mus sich zeigen, dass zu jedem z aus Z ein x zugeordnet wird.

also

h(x)=z

für

für

für


PS://

ich muss aber nicht zeigen dass f und g jeweils nicht surjektiv bzw. nicht injektiv sind oder? auf die aufgabe gibts kaum punkte... , das wären ja seiten schriebarbeit^^
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich muss aber nicht zeigen dass f und g jeweils nicht surjektiv bzw. nicht injektiv sind oder?


Ich habe die Mengen so gewählt das f niemals surjektiv sein kann, und g niemals injektiv. Das liegt an folgendem :

X hat 3 Elemente

Y hat 4 Elemente

Eine Funktion von X nach Y müsste also irgend einem Elemen aus X zwei Werte zuordnen damit sie überhaupt surjektiv sein kann. Dann ist es aber keine Funktion mehr Augenzwinkern .

Den Beweis das f nicht surjektiv ist, kannst Du in 8 Worten führen: Drei hat kein Urbild, damit ist f nicht surjektiv.

Was g angeht :

Y hat 4 Elemente
Z hat 3 Elemente

Eine Funktion muss jedem Element aus Y ein Element aus Z zuordnen. Da Z ein Element weniger hat kann es keine injektive Funktion geben. Denn ein Wert aus z wird zumindest immer doppelt getroffen. Den Beweis das g nicht injektiv ist führt man auch mit wenigen Worten. Es ist g(3) = g(4) = 3, damit ist g nicht injektiv.

Was die Surjektivität von h angeht :

Das ist Ok wie Du es gemacht hast. Ich hätte es so gemacht :

h(1) = 1
h(2) = 2
h(3) = 3

Damit hat jedes ein Urbild, damit ist h surjektiv.
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