Spur von Matrizen

26.10.2009, 22:43

Nani

Spur von Matrizen

Guten Abend!

Ich soll für eine beliebige Matrix A in Mat(n,K) zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} Spur(A) = Spur(A^T) \end{eqnarray*}$

wobei A^T die zu A transponierte Matrix bezeichnet.

Für n=2 mit der Beispielsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wäre Spur = 5 (wie auch Spur der transponierten Matrix) .

26.10.2009, 23:44

tigerbine

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RE: Spur von Matrizen
1. Was ist die Spur?

2. Wie hängen A und A^T zusammen.

3. Ist es dann nicht schon klar?

27.10.2009, 14:58

Nani

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RE: Spur von Matrizen
Haha..blöde - doch sicher ist es klar!
Die Spur ist ja bloss jeweils die Summe der Diagonaleinträge... und die sind ja bei A wie auch bei A^T gleich smile

Ich hätte aber eine Frage zur Aufgabe, dass Spur(AB) = Spur(A)Spur(B) im Allgemeinen nicht gilt.
Das Vorgehen, wie man diese Behauptung widerlegen kann ist klar - hierzu bräuchte ich nur folgenden Hinweis:

Angenommen, ich nehme für die Matrix A : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} &a_{22} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ . & . & . &. \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und für B: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} b_{11} &b_{22} & ... & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\ . & . & . &. \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{nn} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie sähe dann das Produkt AB aus?
(habe das noch nie so allgemein ausgerechnet..)

Herzlichen Dank für die Antwort!

27.10.2009, 15:00

Mazze

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Wenn Du die Aussage widerlegen willst, gibt doch einfach (ein möglichst einfaches) Gegenbeispiel an. Da muss man nicht mit allgemeinen Matrizen rumrechnen.

27.10.2009, 15:01

Nani

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Aha - also reicht auch ein simples Zahlenbeispiel? smile

27.10.2009, 15:15

Mazze

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Ja.

27.10.2009, 15:16

Nani

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Jupii

Bei diesem Beispiel bräuchte ich allerdings wirklich Hilfe - hier braucht es die Multiplikation allgemeiner Matrizen:

Sei A in Mat(m,n;K) beliebig. Es gilt: Spur(AA^T) = Spur(A^TA).

Was ich weiss ist, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray*} Spur(A^TA) = \sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^m~a_{ij}^2 \end{eqnarray*}$

Kann man möglicherweise die Multiplikation der Matrix A und ihrer transponierten auch so "kompakt" aufschreiben? Wenn ja: Wie?

Vielen Dank für die Unterstützung! smile

27.10.2009, 15:18

tigerbine

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Wie ist denn die Matrixmultiplikation definiert? Da gibt es eine Formel für jeden Eintrag.
Dann eben benutzen, wie die Elemente von A und A^T zusammenhängen.

Ein klein dimensionales Beipiel kann beim nachvollziehen helfen.

27.10.2009, 15:29

Nani

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Also, ich habe die Matrix A mit ihrer transponierten multipliziert und folgendes für deren SPUR erhalten: (a_11)^2 + (a_22)^2 + ... + (a_mn)^2 ---> ist das korrekt?

27.10.2009, 15:32

tigerbine

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Was sollen die ... sein? Oben ist doch eine Doppelsumme angegeben. So kann ich das weder bestätigen noch verneinen.

27.10.2009, 15:42

Nani

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Du hast recht - da fehlen noch Einträge:

Nochmals:

SPUR = (a_11)^2 + (a_22)^2 + ... + (a_mn)^2 + (a_11)^2 + (a_22)^2 + ... + (a_nm)^2

27.10.2009, 15:52

tigerbine

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Ich weiß, man macht gerne ..., aber das ist hier fatal. Man erkennt nicht, was du machen willt.

$\begin{eqnarray*} Spur(A^TA) = \sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^m~a_{ij}^2 \end{eqnarray*}$

Vom mir aus, löse eine Summe auf.

$\begin{eqnarray*} Spur(A^TA) = \sum_{j=1}^m~a_{1j}^2 + ... + \sum_{j=1}^m~a_{nj}^2 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass die Spur der Summe der quadrierten Einträge von A entspricht. Bei dir sehe ich da schon Einträge doppelt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir interessieren uns nur für die Diagonaleintrage.

$\begin{eqnarray*} c_{11} = (a_{11}, a_{21}, a_{31})(a_{11}, a_{21},a_{31})^T = a_{11}^2 + a_{21}^2 + a_{31}^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{22} = (a_{12},a_{22},a_{32} )(a_{12},a_{22},a_{32} )^T = a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2 \end{eqnarray*}$

27.10.2009, 21:08

Nani

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Tatsächlich - bei mir gibts doppelte Einträge.

Also verstehe ich dich richtig, dass ich von einem Beispiel (wie bspw. deiner 3x2-Matrix) auf die Spur von (AA^T):

(a_11)^2 + (a_21)^2 + (a_31)^2 + .. + (a_n1)^2 + (a_12)^2 + (a_22)^2 + ... (a_n2)^2 + .... + (a_1m)^2 + (a_2m)^2 + ... + (a_nm)^2

27.10.2009, 22:43

tigerbine

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Zitat:

Das bedeutet, dass die Spur der Summe der quadrierten Einträge von A entspricht.

27.10.2009, 23:01

Nani

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Aha - diesen Satz habe ich eben nicht ganz verstanden - jetzt aber ein paar mal vor mich hingesagt smile

Das heisst also:

(a_11)^2 + (a_12)^2 + ... + (a_1n)^2 + (a_21)^2 + (a_22)^2 + ... (a_2n)^2 + ..... + (a_m1)^2 + (a_m2)^2 + ... + (a_mn)^2 = Spur(A^{T}A)

28.10.2009, 00:42

tigerbine

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Ja, könnte nun hinkommen. Eben:

$\begin{eqnarray*} Spur(A^TA) = \sum_{j=1}^m~a_{1j}^2 + ... + \sum_{j=1}^m~a_{nj}^2 \end{eqnarray*}$

Wenn man auch diese Summenzeichen mit ... schreiben will. Solltest du aber nicht machen. m und n sind hier anders belegt.

28.10.2009, 17:43

Nani

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Stimmt, eigentlich ist es in diesem Fall "dumm", "..." zu verwenden, wenn man den richtigen und vollständigen Ausdruck auch ohne die Punkte schreiben kann..

Stimmt es aber, dass der einzige "Unterschied" (betreffend Darstellung) zwischen Spur(AA^T) und Spur(A^TA) folgender ist:

$\begin{eqnarray*} Spur(A^TA) =\sum_{j=1}^m ~\sum_{i=1}^n~a_{ji} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Spur(A^TA) = \sum_{i=1}^n~\sum_{j=1}^m~a_{ij} \end{eqnarray*}$

28.10.2009, 18:20

tigerbine

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Es feht mir generell einmal die Angabe, was A für eine Matrix ist. Ich nehme an $\begin{eqnarray*} m \times n \end{eqnarray*}$ , wie üblich?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

m=2, n=3

Ich würde die Summe nun umsortieren, da es eher meiner Rechnung entspricht. "Summe über Spaltensummen"

$\begin{eqnarray*} Spur(A^TA) = \sum_{j=1}^m~\sum_{i=1}^n~a_{ij}^2 \end{eqnarray*}$

Was passiert dann bei $\begin{eqnarray*} AA^T \end{eqnarray*}$ ? Wir betrachten die Einträge von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ . Das mache ich mit dem ^ deutlich.

$\begin{eqnarray*} Spur(AA^T) = \sum_{j=1}^{\hat m}~\sum_{i=1}^{\hat{n}}~\hat a_{ij}^2 \end{eqnarray*}$

Wie hängt das nun mit A zusammen? Erstmal andere Dimensionen.

$\begin{eqnarray*} Spur(AA^T) = \sum_{j=1}^{n}~\sum_{i=1}^{m}~\hat a_{ij}^2 \end{eqnarray*}$

Dann die Einträge in Bezug zu A stellen. Probe.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Spur(AA^T) = \sum_{j=1}^{n}~\sum_{i=1}^{m}~a_{ji}^2 \end{eqnarray*}$

28.10.2009, 18:41

Nani

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Genau so ist es! smile

Vielen herzlichen Dank für Deine Unterstützung!

28.10.2009, 20:48

pablosen

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Es geht noch viel einfacher. Man muss auch keine Variablen in den Matrizen selber nehmen:

Behauptung: Spur(AB) = Spur(A)Spur(B) gilt im Allgemeinen nicht

Annahme: Spur(AB) = Spur(A)Spur(B)
Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} B := \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Spur(AB)= ... = ... = Spur(A)*Spur(B) >>> WIDERSPRUCH (wie stellt man den Blitz in Latex hier dar? \lightning und \bitza gehen nicht...)

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Somit ist Behauptung bewiesen.

Nimm einfach gewisse Zahlen und probier aus.

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