Spur von Matrizen

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Nani Auf diesen Beitrag antworten »
Spur von Matrizen
Guten Abend!

Ich soll für eine beliebige Matrix A in Mat(n,K) zeigen, dass gilt:



wobei A^T die zu A transponierte Matrix bezeichnet.

Für n=2 mit der Beispielsmatrix
wäre Spur = 5 (wie auch Spur der transponierten Matrix) .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Matrizen
1. Was ist die Spur?

2. Wie hängen A und A^T zusammen.

3. Ist es dann nicht schon klar?
 
 
Nani Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spur von Matrizen
Haha..blöde - doch sicher ist es klar!
Die Spur ist ja bloss jeweils die Summe der Diagonaleinträge... und die sind ja bei A wie auch bei A^T gleich smile

Ich hätte aber eine Frage zur Aufgabe, dass Spur(AB) = Spur(A)Spur(B) im Allgemeinen nicht gilt.
Das Vorgehen, wie man diese Behauptung widerlegen kann ist klar - hierzu bräuchte ich nur folgenden Hinweis:

Angenommen, ich nehme für die Matrix A :
und für B:

Wie sähe dann das Produkt AB aus?
(habe das noch nie so allgemein ausgerechnet..)

Herzlichen Dank für die Antwort!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du die Aussage widerlegen willst, gibt doch einfach (ein möglichst einfaches) Gegenbeispiel an. Da muss man nicht mit allgemeinen Matrizen rumrechnen.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Aha - also reicht auch ein simples Zahlenbeispiel? smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Jupii smile

Bei diesem Beispiel bräuchte ich allerdings wirklich Hilfe - hier braucht es die Multiplikation allgemeiner Matrizen:

Sei A in Mat(m,n;K) beliebig. Es gilt: Spur(AA^T) = Spur(A^TA).

Was ich weiss ist, dass folgendes gilt:

Kann man möglicherweise die Multiplikation der Matrix A und ihrer transponierten auch so "kompakt" aufschreiben? Wenn ja: Wie?

Vielen Dank für die Unterstützung! smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn die Matrixmultiplikation definiert? Da gibt es eine Formel für jeden Eintrag.
Dann eben benutzen, wie die Elemente von A und A^T zusammenhängen.

Ein klein dimensionales Beipiel kann beim nachvollziehen helfen.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich habe die Matrix A mit ihrer transponierten multipliziert und folgendes für deren SPUR erhalten: (a_11)^2 + (a_22)^2 + ... + (a_mn)^2 ---> ist das korrekt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was sollen die ... sein? Oben ist doch eine Doppelsumme angegeben. So kann ich das weder bestätigen noch verneinen.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht - da fehlen noch Einträge:

Nochmals:

SPUR = (a_11)^2 + (a_22)^2 + ... + (a_mn)^2 + (a_11)^2 + (a_22)^2 + ... + (a_nm)^2
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß, man macht gerne ..., aber das ist hier fatal. Man erkennt nicht, was du machen willt.



Vom mir aus, löse eine Summe auf.



Das bedeutet, dass die Spur der Summe der quadrierten Einträge von A entspricht. Bei dir sehe ich da schon Einträge doppelt.



Wir interessieren uns nur für die Diagonaleintrage.



Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich - bei mir gibts doppelte Einträge.

Also verstehe ich dich richtig, dass ich von einem Beispiel (wie bspw. deiner 3x2-Matrix) auf die Spur von (AA^T):

(a_11)^2 + (a_21)^2 + (a_31)^2 + .. + (a_n1)^2 + (a_12)^2 + (a_22)^2 + ... (a_n2)^2 + .... + (a_1m)^2 + (a_2m)^2 + ... + (a_nm)^2
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das bedeutet, dass die Spur der Summe der quadrierten Einträge von A entspricht.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Aha - diesen Satz habe ich eben nicht ganz verstanden - jetzt aber ein paar mal vor mich hingesagt smile
Das heisst also:

(a_11)^2 + (a_12)^2 + ... + (a_1n)^2 + (a_21)^2 + (a_22)^2 + ... (a_2n)^2 + ..... + (a_m1)^2 + (a_m2)^2 + ... + (a_mn)^2 = Spur(A^{T}A)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, könnte nun hinkommen. Eben:




Wenn man auch diese Summenzeichen mit ... schreiben will. Solltest du aber nicht machen. m und n sind hier anders belegt.
Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, eigentlich ist es in diesem Fall "dumm", "..." zu verwenden, wenn man den richtigen und vollständigen Ausdruck auch ohne die Punkte schreiben kann..

Stimmt es aber, dass der einzige "Unterschied" (betreffend Darstellung) zwischen Spur(AA^T) und Spur(A^TA) folgender ist:



tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es feht mir generell einmal die Angabe, was A für eine Matrix ist. Ich nehme an , wie üblich?



m=2, n=3

Ich würde die Summe nun umsortieren, da es eher meiner Rechnung entspricht. "Summe über Spaltensummen"



Was passiert dann bei ? Wir betrachten die Einträge von . Das mache ich mit dem ^ deutlich.



Wie hängt das nun mit A zusammen? Erstmal andere Dimensionen.



Dann die Einträge in Bezug zu A stellen. Probe.



Nani Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es! smile
Vielen herzlichen Dank für Deine Unterstützung!
pablosen Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht noch viel einfacher. Man muss auch keine Variablen in den Matrizen selber nehmen:

Behauptung: Spur(AB) = Spur(A)Spur(B) gilt im Allgemeinen nicht

Annahme: Spur(AB) = Spur(A)Spur(B)
Beweis:
Sei

Sei

Spur(AB)= ... = ... = Spur(A)*Spur(B) >>> WIDERSPRUCH (wie stellt man den Blitz in Latex hier dar? \lightning und \bitza gehen nicht...)

Somit ist Behauptung bewiesen.


Nimm einfach gewisse Zahlen und probier aus.
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